Exponent 3b 4086

Vad skall gälla för derivatan för att funktionen skall vara växande?

joculator skrev:

Vad skall gälla för derivatan för att funktionen skall vara växande?

När f’(x)>0 är funktionen växande

Så i den första funktionen måste e^x-1 vara 0 eller större. Det innebär att e^x som minst kan vara 1 alltså x=0. Svaret blir då när x≥0. Rätt?

Men hur blir det med den andra funktionen? Enligt facit är svaret att funktionen är växande för alla reella tal. Jag förstår inte riktigt det 

accebeR skrev:

Så i den första funktionen måste e^x-1 vara 0 eller större. Det innebär att e^x som minst kan vara 1 alltså x=0. Svaret blir då när x≥0. Rätt?

Men hur blir det med den andra funktionen? Enligt facit är svaret att funktionen är växande för alla reella tal. Jag förstår inte riktigt det 

Vad är det minsta värde som $e^x$ kan ha?

Tegelhus skrev:

accebeR skrev:

Så i den första funktionen måste e^x-1 vara 0 eller större. Det innebär att e^x som minst kan vara 1 alltså x=0. Svaret blir då när x≥0. Rätt?

Men hur blir det med den andra funktionen? Enligt facit är svaret att funktionen är växande för alla reella tal. Jag förstår inte riktigt det 

Vad är det minsta värde som $e^x$ kan ha?

I den andra funktionen? Om e^x+1 ska bli 0 eller större måste väl det minsta värdet på e^x vara -1? Eller har jag fattat helt fel?

Tegelhus menade säkert att fråga vilket som är det minsta värdet som e^x kan anta. 

För den andra funktionen gäller att f'(x) = e^x + 1. Om derivatan skall bli 0 krävs det att e^x = -1. Kan e^x bli negativt?

accebeR skrev:

Tegelhus skrev:

Visa föregående citat

accebeR skrev:

Så i den första funktionen måste e^x-1 vara 0 eller större. Det innebär att e^x som minst kan vara 1 alltså x=0. Svaret blir då när x≥0. Rätt?

Men hur blir det med den andra funktionen? Enligt facit är svaret att funktionen är växande för alla reella tal. Jag förstår inte riktigt det 

Vad är det minsta värde som $e^x$ kan ha?

I den andra funktionen? Om e^x+1 ska bli 0 eller större måste väl det minsta värdet på e^x vara -1? Eller har jag fattat helt fel?

Jag tänkte $e^x$ i sig självt. Rent allmänt för exponentialfunktioner, det vill säga funktioner på formen $a^x$, gäller att de aldrig kan vara negativa så länge som basen $a$ är större än noll - oavsett värde på x.

Det är inget bevis, men man kan intuitivt visa det genom att till exempel titta på $2^{-8}$. Det kan skrivas om enligt

$2^{-8}=\frac{1}{2^8}=\frac{1}{256}\approx 0,0039$

Så även om exponenten är negativ kommer talet i sig aldrig att bli negativt, eller ens 0. Ju större negativt tal exponenten blir, desto närmare noll kommer man att komma, men det kommer aldrig att kunna bli noll eller negativt. Det blir inte annorlunda för att det står e istället för 2, eftersom $e\approx 2,72$ är ett positivt tal precis som alla andra.

Den kunskapen kan man sedan använda för att argumentera för att den andra funktionen alltid är växande.