Extrempunkter

Nollproduktsmetoden fungerar men se till att faktorisera uttrycket först.

eller ska man ta andraderivatan istället?

Andraderivatan kan användas för ett senare steg där vi avgör extrempunkternas typ. Innan vi kan göra det måste vi först bestämma vart extrempunkterna ligger.

Du kan dessutom faktorisera derivatan ännu mer.

Det man kan faktorisera ut är e^x•x ?

e^x•x (x²+3x)=0

Japp det går att faktorisera ut x ur parantesen. MEN det går faktiskt att faktorisera ännu mer.

Då får man kolla inuti parantesen igen och hitta gemensamma faktorer.

Så enligt potenslagen då kan man faktorisera ut

e^x•x² (x+3)=0

men ska man jobba vidare sedan 

x=0   Och x= -3 (Extrempunkter)

Nu kan du använda andraderivatan för att avgöra om punkterna är minimum, maximum, eller terasspunkter. Det går även att göra en teckentabell med förstaderivatan.

När jag sätter f”(0) så får jag noll?

Japp det stämmer, vet du vad det är för typ av extrempunkt?

då f”(0) = 0 så är det en inflexionpunkt? 

Då f”(-3)= minus så maximipunkt?

Försökte även med teckenstudie

vänster och höger om 0 blir plus?

Biorr skrev:

[...]

då f”(0) = 0 så är det en inflexionpunkt? 

Du ska bestämma om om funktionen har en minimi-, maximi- eller terrasspunkt vid x = 0.

Eftersom andraderivatan är lika med 0 så måste vi använda någon annan metod för att bestämma detta, t.ex. med hjälp av en teckentabell

Kommentar: Att andraderivatan är lika med 0 innebär inte att det är en inflexionspunkt.

Ett exempel är f(x) = x⁴, vars andraderivata är lika med 0 i origo utan att det är en inflexionspunkt.

Då f”(-3)= minus så maximipunkt?

Ja, det stämmer.

Biorr skrev:

[...]

Försökte även med teckenstudie

vänster och höger om 0 blir plus?

Jag har inte kollat dina uträkningar, men det stämmer att f'(x) > 0 både till vänster och till höger om x = 0.

Kan du då avgöra den stationära punktens karaktär?

Tips:

• Komplettera din teckentabell med plus- och minustecken på raden för f'(x).
• Lägg till en rad för f(x) där du skriver in pilar (snett upp till höger under +, horisontell under 0, snett ner till höger under-). Dessa pilar visar då det principiella utseendet hos grafen till y = f(x).

jag inte riktigt hur jag ska tolka detta.

F’(0) är en terraspunkt  ?

vart tog maximipunkten vägen ?

f’(-3) är en minimipunkt    ?

Biorr skrev:

[...]

jag inte riktigt hur jag ska tolka detta.

F’(0) är en terraspunkt  ?

Det stämmer! Bra!

vart tog maximipunkten vägen ?

Det behöver inte finnas någon maximipunkt

f’(-3) är en minimipunkt    ?

Det stämmer! Bra!

=====

Se bild:

• Jag kompletterade din tabell med ett minustecken och en nolla på raden för f'(x).
• Jag satte även dit horisontella pilar under nollorna och lät pilarna "gå i varandra".

Då blir det lite tydligare hur grafen ser ut.

Avslutar med grafen ritad i Desmos:

att jag tolkade att andraderivatan f”(-3)= minus så maximipunkt, var det fel ?

det orsakade förvirringen

Jag får att $f''(x)=xe^x(x^2+6x+6)$, vilket ger $f''(-3)=9e^{-3} > 0$.

Kan du visa steg för steg hur du tar fram din andraderivata, baserat på $f'(x)=e^xx^2(x+3)$?

Det är fel i mina beräkning av andraderivatan, efter eftersom facit stämmer överens med teckenstudien

jag utgick ifrån det här med produktregeln igen

OK, bra.

Hittar du felet själv eller vill du ha hjälp att hitta det?

Jag skulle behöva ha hjälp med det då det verkar som jag inte får till det.

Vi utgår från $f'(x)=e^xx^3+3e^xx^2$, dvs en summa av två termer $e^xx^3$ och $3e^xx^2$.

Vi deriverar nu term för term.

Med hjälp av produktregeln så blir derivatan av första termen $e^xx^3$ lika med $e^xx^3+e^x\cdot3x^2$

På samma sätt blir derivatan av andra termen $3e^xx^2$ lika med $3e^xx^2+3e^x\cdot2x=3e^xx^2+6e^xx$

Om vi nu lägger ihop dessa derivator får vi

$f''(x)=e^xx^3+e^x\cdot3x^2+3e^xx^2+6e^xx$

Vi kan bryta ut $xe^x$, vilket ger oss

$f''(x)=xe^x(x^2+3x+3x+6)=$

$=xe^x(x^2+6x+6)$