Extrempunkter för polynomfunktioner av olika grad

I denna fråga är det ett jämnt gradtal så då måste grafen vända minst en gång iaf.

Detta stämmer, och det innebär att en sjättegradsfunktion alltid har minst en extrempunkt. :)

Men minst? Jag undrar om det är så att en funktion alltid måste ha n-1 antal extrempunkter eller kan den ha färre?

En funktion kan ha färre än (n - 1) extrempunkter. Ett exempel är tredjegradspolynom, som kan ha upp till två extrempunkter, men exempelvis $f\left(x\right)=2x^3+x$ har inga extrempunkter, och inte heller någon terasspunkt. Terasspunkter brukar inte räknas som extremvärden. :)

Hur ser en sjättegradsfunktion ut med bara en extrempunkt? Har svårt att föreställa mig hur den grafen ser ut, ser den inte ut som en andragradsfunktion då?

Jo, den kommer att se ut ungefär som en andragradsfunktion. $f\left(x\right)=x^6$ (rött) jämfört med $g\left(x\right)=x^2$ (blått):

Okej! Tack, så den e betydligt plattare där nere, har det något med dubbelrötter att göra då?

Nja, inte riktigt, men det är en bra gissning! $f(x)=x^6$ har fortfarande bara en rot. Däremot, vad händer då x är nära noll? Fyll i denna tabell:

$\begin{array}{ccc}x& f\left(x\right)=x^6& g\left(x\right)=x^2\\ 1& 1& 1\\ 0,5& 0,15625& 0,25\\ 0,1& & \\ 0,01& & \end{array}$

Vad ser du? :)

Jahaa!! När x --> 0, blir funktionsvärdet mindre och mindre för x^6,  medan x^2 inte blir lika litet lika snabbt

Precis! Funktionen växer snabbare när x ökar, men det innebär också att funktionen avtar fortare då x är nära noll. Desto högre (jämn) exponent, desto mer extrema förändringar, i princip! :)

x = 0 är förvisso en dubbelrot, till både $x^2 = 0$ och $x^6=0$. $x^6 = 0$ har t o m en sextuppelrot, så derivatorna av ordningarna ett till fem är alla noll. Därför är den så platt.