Extremvärdesproblem

Det var en bra start.

Du har uttryckt linjens lutning på två olika sätt:

• $k = \dfrac{5}{2-x}$
• $k = \dfrac{5-y}{2}$

Det är samma linje, så det är samma $k$, så $\dfrac{5}{2-x} = \dfrac{5-y}{2}$ gäller. Från detta samband kan du lösa ut en av variablerna, t.ex. $y = 5 - \dfrac{10}{2-x}$.

Du söker minimumet av funktionen $A = \dfrac{x \cdot y}{2}$. Sätt in uttrycket för $y$ för att få en funktion av endast en variabel (nämligen $x$). Sedan är det "bara" att hitta minimumet av denna funktion. (Glöm inte att ta fram definitionsmängden för $A$, d.v.s. bestäm vilka värden på $x$ som är rimliga/möjliga enligt figuren.)

Om jag löser ut y blir det 0 ich om jag löser ut x kommer talet fortfarande ha både variablerna x och y, hur gör jag då

LuMa07 skrev:

Det var en bra start.

Du har uttryckt linjens lutning på två olika sätt:

• $k = \dfrac{5}{2-x}$
• $k = \dfrac{5-y}{2}$

Det är samma linje, så det är samma $k$, så $\dfrac{5}{2-x} = \dfrac{5-y}{2}$ gäller. Från detta samband kan du lösa ut en av variablerna, t.ex. $y = 5 - \dfrac{10}{2-x}$.

Du söker minimumet av funktionen $A = \dfrac{x \cdot y}{2}$. Sätt in uttrycket för $y$ för att få en funktion av endast en variabel (nämligen $x$). Sedan är det "bara" att hitta minimumet av denna funktion. (Glöm inte att ta fram definitionsmängden för $A$, d.v.s. bestäm vilka värden på $x$ som är rimliga/möjliga enligt figuren.) .

Vill man lösa ut $y$ från ekvationen $\dfrac{5}{2-x} = \dfrac{5-y}{2}$, så finns det inget behov att multiplicera båda leden med $(2-x)$. Bråket i VL innehåller inget $y$, så det hjälper inte att försöka bli av med det bråket.

Man vill få ut $y$ ensamt på ena ledet, medan det inte får finnas något $y$ kvar på andra ledet. Ekvationen är nästan redan skriven på en sådan form:

• Multiplicera båda leden i $\dfrac{5}{2-x} = \dfrac{5-y}{2}$ med $2$
  $\dfrac{10}{2-x} = 5-y$
• Flytta över $y$ från HL till VL (d.v.s. addera $y$ till båda leden):
  $\dfrac{10}{2-x} + y= 5$
• Flytta över bråket från VL till HL (d.v.s. subtrahera bråket från båda leden):
  $y= 5 -\dfrac{10}{2-x} = 5 +\dfrac{10}{x-2}$

Klart.

Nu kan detta sättas in i uttrycket $A = x\cdot y/2 = \dfrac{5\,x}{2} +\dfrac{5\,x}{x-2}$ som sedan optimeras.

Anmärkning: Ville man lösa ut $x$ istället, så skulle något mer arbete krävas:

• Multiplicera båda leden i $\dfrac{5}{2-x} = \dfrac{5-y}{2}$ med $(2-x)$ och med $2$:
  $10 = (5-y)(2-x)$
• Dividera båda leden med $(5-y)$:
  $\frac{10}{5-y} = 2-x$
• Flytta runt termer:
  $x = 2-\frac{10}{5-y}$