Facit saknas: bevisa två satser kring träd

Hej!

Min mattebok har inget facit eller lösningsförslag till just denna uppgift. Jag har inte gjort många bevis i mitt liv, det här är typ den första kursen som ber mig bevisa saker.

Jag undrar om mitt bevis är korrekt. Uppgiften (15.5.3 i Discrete Mathematics av Biggs):

"Show that property (T3) implies (T1) and (T2)".

Här är en beskrivning av (T3), (T1) och (T2):

(T3) If $T=(V,E)$ is a tree with at least two verticies, then:

For each pair $x,y$ of vertices, there is a unique path in $T$ from $x$ to $y$.

(T2): There are no cycles in $T$

(T3): $T$ is connected.

Kursen arbetar endast med enkla grafer ("simple graphs").

Här är mitt bevis:

Först för $(T3)\implies (T2)$.

Antag motsatsen, alltså om (T3) gäller så finns det minst en cykel i grafen. Välj en godtycklig av dessa cykler. Antag att cykeln går mellan några noderna $v_1 v_2\dots v_k v_1$. Detta innebär att det finns en stig $v_1 v_2 \dots v_k$ och en stig $v_1 v_k$. Men isåfall uppfylls inte (T3), eftersom det inte finns en unik stig från $v_1 \rightarrow v_k$, en motsägelse.

Sen $(T3)\implies (T1)$

Antag motsatsen, alltså att om (T3) gäller, så är grafen inte sammanhängande. Om grafen inte är sammanhängande så finns minst två komponenter. Låt komponent $j$ och komponent $k$ vara två olika komponenter. Låt $y$ vara en godtycklig nod i komponent $k$. Men  $\left\{z|z \in V, z\text{ tillhör komponent }j, y\in N_z \right\}=\emptyset$, där $N_z$ är grannmängden till noden $z$ och $\emptyset$ tomma mängden. Alltså finns det ingen kant från någon nod i komponent $j$ till någon nod i komponent $k$, och därav inte heller någon möjlig stig mellan dessa noder. Men då är inte (T3) sant, vilket också är en motsägelse.

Är mitt bevis rätt?