7 svar
56 visningar
solaris är nöjd med hjälpen!
solaris 216
Postad: 31 maj 2019

facits trippelintegral tar bort parametrar

Hej jag har problem med att lösa en trippelintegral  xy+z^2

över 0z1-x-y. Problemet är att mina gränser är rätt men i facit har dom tagit bort xy från integralen:

Men om xy försvinner genom symmetri bör den inte även atomatisk 'försvinna' i min integral oxå?

Här är min lösning:

Laguna 5113
Postad: 31 maj 2019

Det ska bli rätt även om man har kvar xy, ja. 

Kan du visa stegen i din integrering? 

solaris 216
Postad: 31 maj 2019

jag gjorde det på datorn. men om du säger att min tankegång är rätt så är det säkert bara ett slarvfel. tack :)

Laguna 5113
Postad: 31 maj 2019

Jag menade bara att man kan ha kvar xy. Jag har inte kollat dina integrationsgränser. 

solaris 216
Postad: 31 maj 2019

skillnaden till mitt o facits integrationsgärnser är att jag har bytt ut z till x

solaris skrev:

skillnaden till mitt o facits integrationsgärnser är att jag har bytt ut z till x

Varför har du gjort det?

AlvinB 3084
Postad: 31 maj 2019
solaris skrev:

skillnaden till mitt o facits integrationsgärnser är att jag har bytt ut z till x

Det gör ingen skillnad; området är symmetriskt, så det går lika bra att räkna med zz först.

Däremot har Laguna fel. Du får faktiskt inte ha kvar xyxy-termen om du enbart skall integrera över en fjärdedel av området. Det faktum att man kan integrera på en fjärdedel av området bygger nämligen på att funktionen är jämn relativt xx och yy. Detta gäller enbart funktionen f(x,y,z)=z2f(x,y,z)=z^2inte f(x,y,z)=xy+z2f(x,y,z)=xy+z^2.

Lite mer ordentligt kan vi säga att vi börjar med att dela upp integralen enligt:

Rxy+z2 dxdydz=Rxy dxdydz+Rz2 dxdydz=\displaystyle\iiint_R xy+z^2\ dxdydz=\iiint_R xy\ dxdydz+\iiint_R z^2\ dxdydz=

På den vänstra integralen inser vi att integranden f(x,y,z)=xyf(x,y,z)=xy är udda i xx-led, d.v.s. f(-x,y,z)=-f(x,y,z)f(-x,y,z)=-f(x,y,z). Tillsammans med det faktum att området är symmetriskt i xx-led gör detta att integralen blir lika med noll.

På den högra integralen ser vi att integranden f(x,y,z)=z2f(x,y,z)=z^2 är jämn i xx-led, d.v.s. f(-x,y,z)=f(x,y,z)f(-x,y,z)=f(x,y,z). Eftersom området är symmetriskt i xx-led ger detta att vi kan beräkna integralen enbart där x0x\geq0 och sedan dubbla resultatet:

=Rz2 dxdydz=2Rx0z2 dxdydz==\displaystyle\iiint_R z^2\ dxdydz=2\displaystyle\iiint_{R_{x\geq0}}z^2\ dxdydz=

Vidare ser vi även att integranden är jämn i yy-led, d.v.s. f(x,-y,z)=f(x,y,z)f(x,-y,z)=f(x,y,z). Då området är symmetriskt i yy-led ger detta att integralen kan beräknas i delen av området där y0y\geq0 och sedan dubbla. Detta resulterar i att vi endast behöver integrera i första oktanten:

=4Rx,y0z2 dxdydz=4\displaystyle\iiint_{R_{x,y\geq0}}z^2\ dxdydz

Observera dock att denna förenkling endast gällde för att funktionen var jämn i xx- och yy-led. Om vi sparar xyxy-termen gäller inte detta, och vi får då inte integrera i första oktanten och multiplicera med fyra.

Laguna 5113
Postad: 31 maj 2019

Ja, jag hade fel. Jag tänkte inte efter.

Svara Avbryt
Close