22 svar
202 visningar
Maremare är nöjd med hjälpen!
Maremare 263
Postad: 2 jul 2019

faktorisera polynomet till grad 1

jag har polynomet p(x) = 2x3-9x2+2

vars rötter jag har hittat x1,2,3=12, 2±6

och det jag undrar är om jag ska faktorisera p(x) som produkt av polynom av grad 1 kan man skriva såhär:

p(x) = 2x3-9x2+2 = (x-12)(x-2-6)(x-2+6)

blev osäker på det för det ser så rörigt ut i HL längst ut?

Maremare skrev:

jag har polynomet p(x) = 2x3-9x2+2

vars rötter jag har hittat x1,2,3=12, 2±6

och det jag undrar är om jag ska faktorisera p(x) som produkt av polynom av grad 1 kan man skriva såhär:

p(x) = 2x3-9x2+2 = (x-12)(x-2-6)(x-2+6)

blev osäker på det för det ser så rörigt ut i HL längst ut?

Du kan själv kolla om det stämmer. Vet du hur?

Laguna 5654
Postad: 2 jul 2019

Det ser rätt ut. Hur hittade du rötterna? 

Maremare 263
Postad: 2 jul 2019
Laguna skrev:

Det ser rätt ut. Hur hittade du rötterna? 

jag räknade fram eventuella rötter och verifierade  genom insättning vilken som var en rot och det var 1/2 som då är en faktor till p(x)

därefter utförde polynomdivisionen p(x) / (x-1/2) för att få fram andragradsfunktion och därefter kvadratkomplettering för de t vå resterande

blev sen dock osäker på om det är så man skriver ut när det är flera termer i parentesen men då verkar det stämma?

Maremare 263
Postad: 2 jul 2019
Yngve skrev:
Maremare skrev:

jag har polynomet p(x) = 2x3-9x2+2

vars rötter jag har hittat x1,2,3=12, 2±6

och det jag undrar är om jag ska faktorisera p(x) som produkt av polynom av grad 1 kan man skriva såhär:

p(x) = 2x3-9x2+2 = (x-12)(x-2-6)(x-2+6)

blev osäker på det för det ser så rörigt ut i HL längst ut?

Du kan själv kolla om det stämmer. Vet du hur?

det måste väl stämma tänker jag eftersom att det var mina rötter jag fick fram men osäker på skrivsättet.

elr om jag löser ut mina x ensamt för jag mina rötter och sedan sätter in om i parentense? eller hur kollar man

Maremare 263
Postad: 2 jul 2019
Maremare skrev:
Laguna skrev:

Det ser rätt ut. Hur hittade du rötterna? 

jag räknade fram eventuella rötter och verifierade  genom insättning vilken som var en rot och det var 1/2 och som i så fall gör att (x-1/2) är en faktor till p(x)

därefter utförde polynomdivisionen p(x) / (x-1/2) för att få fram andragradsfunktion och därefter kvadratkomplettering för de t vå resterande

blev sen dock osäker på om det är så man skriver ut när det är flera termer i parentesen men då verkar det stämma?

Maremare 263
Postad: 2 jul 2019

nu vet jag en vad som hände här med alla mina svar :S

Laguna 5654
Postad: 2 jul 2019 Redigerad: 2 jul 2019

Jag vet inte hur jag skulle få fram rötterna utom genom nån numerisk metod eller genom att rita.

Eller genom att använda formeln som finns, förstås, men det är för jobbigt. När det finns tre reella rötter blir uttrycken jobbiga.

Maremare 263
Postad: 2 jul 2019
Laguna skrev:

Jag vet inte hur jag skulle få fram rötterna utom genom nån numerisk metod eller genom att rita.

Eller genom att använda formeln som finns, förstås, men det är för jobbigt. När det finns tre reella rötter blir uttrycken jobbiga.

vet ej riktigt vad numerisk metod men fick fram dom på det sättet jag skrev tidigare, det kanske var en numerisk metod :D

okej men då är jag med på att faktoriseringen av polynomet vad korrekt.

 

tack!

tomast80 2487
Postad: 2 jul 2019

Det är rätt, förutom att det saknas en 22:a. Jag skulle faktoriserat enligt:

p(x)=2(x-x1)(x-x2)(x-x3)p(x)=2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)

Då blir den inledande termen lika med 2x32x^3.

Maremare 263
Postad: 2 jul 2019
tomast80 skrev:

Det är rätt, förutom att det saknas en 22:a. Jag skulle faktoriserat enligt:

p(x)=2(x-x1)(x-x2)(x-x3)p(x)=2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)

Då blir den inledande termen lika med 2x32x^3.

Vart saknas det en 2a? eller hur kan det vara rätt förutom 2an ? :D

Maremare skrev:
tomast80 skrev:

Det är rätt, förutom att det saknas en 22:a. Jag skulle faktoriserat enligt:

p(x)=2(x-x1)(x-x2)(x-x3)p(x)=2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)

Då blir den inledande termen lika med 2x32x^3.

Vart saknas det en 2a? eller hur kan det vara rätt förutom 2an ? :D

Undersök vad du får fram för uttryck, om du multiplicerar ihop dina tre parenteser. Blir det samma sak som du hade från början?

Maremare 263
Postad: 2 jul 2019
Smaragdalena skrev:
Maremare skrev:
tomast80 skrev:

Det är rätt, förutom att det saknas en 22:a. Jag skulle faktoriserat enligt:

p(x)=2(x-x1)(x-x2)(x-x3)p(x)=2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)

Då blir den inledande termen lika med 2x32x^3.

Vart saknas det en 2a? eller hur kan det vara rätt förutom 2an ? :D

Undersök vad du får fram för uttryck, om du multiplicerar ihop dina tre parenteser. Blir det samma sak som du hade från början?

en 2a utanför parentesen saknas. Hur ska man veta att den ska vara där? jag har ju mina rötter då p(x) = 0

om jag har fått fram mina rötter, hur skriver jag upp p(x) som produkt av polynom av grad 1, finns det någon formel för det som jag missat?

Alla tredjegradspolynom kan skrivas som p(x)=k(x-x1)(x-x2)(x-x3) där x1, x2 och x3 är rötter till ekvationen p(x)=0*. Ett annat sätt att skriva polynomet är p(x)=ax3+bx2+cx+d. I båda fallen behövs det 4 konstanter för att entydigt beskriva vilket polynom det är.

* Ibland kan två av rötterna vara komplexa, även om a, b, c och d är reella, och i så fall kan tredjegradspolynomet skrivas som p(x)=k(x-x1)(x2+lx+m), där andragradspolynomet saknar reella rötter.

Maremare 263
Postad: 2 jul 2019
Smaragdalena skrev:

Alla tredjegradspolynom kan skrivas som p(x)=k(x-x1)(x-x2)(x-x3) där x1, x2 och x3 är rötter till ekvationen p(x)=0*. Ett annat sätt att skriva polynomet är p(x)=ax3+bx2+cx+d. I båda fallen behövs det 4 konstanter för att entydigt beskriva vilket polynom det är.

* Ibland kan två av rötterna vara komplexa, även om a, b, c och d är reella, och i så fall kan tredjegradspolynomet skrivas som p(x)=k(x-x1)(x2+lx+m), där andragradspolynomet saknar reella rötter.

okej då är jag med, finns det något standard sätt att räkna ut denna konstanten k? eller måste man multiplicera hela parentesen och se vad som "fattas" i VL och HL ? hänger ej med hur man ska räkna ut det, känns som jag missat något i kurslitteraturen gällande denna konstanten k

Det är enkelt - titta på konstanten före x3-termen! Om det inte är "en osynlig etta" famför kubiktermen, så är det k som står där.

Ebola 503
Postad: 2 jul 2019
Maremare skrev:

okej då är jag med, finns det något standard sätt att räkna ut denna konstanten k? eller måste man multiplicera hela parentesen och se vad som "fattas" i VL och HL ? hänger ej med hur man ska räkna ut det, känns som jag missat något i kurslitteraturen gällande denna konstanten k

Om du går igenom din lösningsmetodik igen så ser du:

2x3-9x2+2x-12 =2x2-8x-4

Du har sannolikt nu satt HL lika med noll och delat bort tvåan utan att tänka på att den är med i ursprungsuttrycket:

2x2-8x-4=0  2(x2-4x-2)=0  x=2±6

Du missade alltså bara att delningen av tvåan inte påverkar rötterna men det påverkar din faktorisering:

p(x)=2(x-2+6)(x-2-6)(x-12)

Laguna 5654
Postad: 3 jul 2019
Laguna skrev:

Det ser rätt ut. Hur hittade du rötterna? 

Som alla andra noterade var jag för snabb igen, så jag glömde faktorn framför x3-termen.

Maremare skrev:
Yngve skrev:

Du kan själv kolla om det stämmer. Vet du hur?

det måste väl stämma tänker jag eftersom att det var mina rötter jag fick fram men osäker på skrivsättet.

elr om jag löser ut mina x ensamt för jag mina rötter och sedan sätter in om i parentense? eller hur kollar man

Du kan kolla genom att multiplicera ihop parenteserna. Om resultatet då blir samma som ursprungspolynomet så är faktoriseringen rätt.

Maremare 263
Postad: 3 jul 2019

okej skrivs k alltid ut om det annat tal än 1 när man faktoriserar polynomet?

jag menar även om jag skulle skrivit p(x) som en produkt av en 1:a grads och en 2:a grads, skriver jag ut k då med?

Laguna 5654
Postad: 3 jul 2019

Om du vill kan du multiplicera in 2:an i faktorn med roten 1/2: 2(x - 1/2) = 2x - 1.

Maremare 263
Postad: 3 jul 2019

finns denna information någonstans på matteboken.se ? har svårt att hitta vart jag kan läsa mer om detta

Yngve Online 12026 – Mattecentrum-volontär
Postad: 3 jul 2019 Redigerad: 3 jul 2019
Maremare skrev:

okej skrivs k alltid ut om det annat tal än 1 när man faktoriserar polynomet?

jag menar även om jag skulle skrivit p(x) som en produkt av en 1:a grads och en 2:a grads, skriver jag ut k då med?

Ja det måste du göra, oavsett vilka gradtal du faktoriserar uttrycket till. En faktorisering är ju bara ett annan form på exakt samma uttryck.

Det måste alltså gälla att de båda uttrycken är identiska för att faktoriseringen ska vara korrekt.

  • Det gäller att 2x3-9x2+2=2(x-1/2)(x2-4x-2)2x^3-9x^2+2=2(x-1/2)(x^2-4x-2), så detta är en korrekt faktorisering.
  • Det gäller inte att 2x3-9x2+2=(x-1/2)(x2-4x-2)2x^3-9x^2+2=(x-1/2)(x^2-4x-2), så detta är inte en korrekt faktorisering.
Svara Avbryt
Close