Faktorisering

Förstår ej denna. Du kan använda konjugatregeln, men om det blir så mkt bättre vet jag ej.

Cristian0311 skrev:

Faktorisera 2ⁿ-1

Jag vet att man ska använda sig av en geometrisk serie, men fattar inte varken det fungerar eller är rimligt.

Är uppgiften verkligen så? Inget mer än det? 

(Jag kan faktorisera n²-1, men ditt uttryck kan jag inte göra så mycket med.)

Jag vill dela upp 2ⁿ-1 i faktorer för att visa att det inte är ett primtal. Hela uppgiften är lite annorlunda, det handlar om ett bevis där jag skrivit ett indirekt bevis, (falsk) Q ->(falsk) P. Jag har surfat runt på webben och hittat:

2ⁿ-1=(2^a)^b-1

=(2^a)^b −1=(2^a−1)(1+2^a+(2^a )² +⋯+(2^a)^b−1

Fattar ni hur man delat upp detta i faktorer? Fungerar det?

Cristian0311 skrev:

Jag vill dela upp 2ⁿ-1 i faktorer för att visa att det inte är ett primtal. Hela uppgiften är lite annorlunda, det handlar om ett bevis där jag skrivit ett indirekt bevis, (falsk) Q ->(falsk) P. Jag har surfat runt på webben och hittat:

2ⁿ-1=(2^a)^b-1

=(2^a)^b −1=(2^a−1)(1+2^a+(2^a )² +⋯+(2^a)^b−1

Fattar ni hur man delat upp detta i faktorer? Fungerar det?

Hej. För vissa $n$ kan faktiskt $2^{n}-1$ vara ett primtal. Dessa kallas nämligen för Mersenneprimtal. 

Det jag tror du försöker visa är att om $2^{n}-1$ är ett primtal så är $n$ ett primtal.

Ja precis så, med ett indirekt bevis. Dock vet jag inte varför faktoriseringen fungerar som jag skrev ovan, är det ett axiom?

Faktoriseringen du använder kallas för konjugatregeln, som Trinity2 skrev:

$a^{n}-b^{n} = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2} + \cdots + a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}),$

där $n$ är ett positivt heltal. Det är en generalisering av den "vanliga" man stöter på i skolan (nämligen $x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$). Det är inget axiom utan den kan härledas mha. elementär algebra:

"Det jag tror du försöker visa är att om $2^{n}-1$ är ett primtal så är $n$ ett primtal."

Hur hade du bevisat detta?

Om 2ⁿ-1 är ett primtal så kan man inte faktorisera det.

Undersök under vilka omständigheter du kan faktorisera det. Använd konjugatregeln.

Använde din formel, Darth Vader. Tror detta borde stämma?

Undrar även, är detta någonting man memorerar eller är det logiskt?

Cristian0311 skrev:

Använde din formel, Darth Vader. Tror detta borde stämma?

Ser bra ut!

Men det finns något som ska måste klargöras:

Ett tal som kan faktoriseras behöver nödvändigtvis inte vara ett sammansatt tal (dvs. inte ett primtal). Primtal kan också faktoriseras, dock endast som $1 \cdot p$. Mer korrekt vore isåfall om man även påpekade att faktorerna i faktoriseringen måste vara större än $1$ (i själva verket är detta ekvivalent med att ett tal är ett sammansatt tal). 

Så du måste vara tydlig med att man kan välja $a$ och $b$ så att $a>1$ och $b>1$. Då kan du även garantera att $m-1>1$, eftersom $m=2^{a}>2^{1}=2$ samt $m^{b-1}+m^{b-2}+ \cdots + m+1>1$ (eftersom alla $m^{i}$ är ju positiva heltal och det finns $b-1 \geq 1$ av dem). Med andra ord kan du skriva $2^{n}-1$ som en produkt av två faktorer bådadera $>1$, vilket betyder att $2^{n}-1$ inte kan vara ett primtal. 

Undrar även, är detta någonting man memorerar eller är det logiskt?

Tänker du på konjugatregeln? Man ska generellt sett inte memorera saker i matte. Det är inte så man lär sig, i alla fall inte ordentligt. Det handlar mer om förståelse. Försök förstå tex. hur den är härled och vilka "tricks" som är inblandade. Å andra sidan har den ett ganska tydligt mönster, så ju mer exposition desto mer undermedvetet memorerar man den vare sig man vill det eller inte...

$a^{n}-b^{n} = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2} + \cdots + a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}),$

 

Det jag undrade med att memorera var formeln du skrev upp innan, alltså den ovan :)

Cristian0311 skrev:

$a^{n}-b^{n} = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2} + \cdots + a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}),$

 

Det jag undrade med att memorera var formeln du skrev upp innan, alltså den ovan :)

Yes, det var den jag hänvisade till i sista paragrafen i inlägg #11.