Faktorisering av polynom

Hej!

Har du koll på faktorsatsen? Vad kan du säga om rationella rötter till w(x)?

Nej, har inte koll. Antar att man ska använda sig av kvadrering- eller konjugatreglerna. 

Svaret ska vara w(x) = (x + 1)^2(x - 1)

Hej

Du kan börja med gissa en rot vilket vi ser är kanske simpelt: $w\left(1\right)=1^3+1^2-1-1=0$. Detta gör att $w\left(x\right)=(x-1)(x-t)(x-m)$ där $t,m$ är dina andra två nollställen. Där du jämför $(x-1)(x-t)(x-m)=x^3+x^2-x-1$

Ett snabbare sätt är att göra följande: $x^3+x^2-x-1=x^2(x+1)-(x+1)$ som du kan faktorisera vidare. 

Kommer du vidare nu?

Om man skall faktorisera ett polynom i Ma2, kan man utgå från att det har åtminstone någon rot som är lätt att gissa. Man ser snabbt att x = 0 inte är en lösning till ekvationen w(x) = 0, men funkar det med x = 1 eller x = -1?

Faktorsatsen säger att om t ex en tredjegradsekvation $ax^3+bx^2+cx+d=0$ har lösningarna $x_1$, $x_2$ och $x_3$

så kan ekvationen även skrivas som $k(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$. Man inser ganska snart att k = a men de andra är lite krångligare att få fram.

Supert, tack så mycket!

Tänkte för dom som vill se en kompletlösning så kommer det här: 

$w\left(x\right)=x^3+x^2-x-1=x^2(x+1)-(x+1)=\left(x^2-1\right)(x+1)={\left(x+1\right)}^2(x-1)$