Faktorsatsen

Låt säga att vi har ett polynom $p(x)$ och något annat polynom $q(x)$, och undrar om $p(x)$ är delbart med $q(x)$.

Jag tolkar din fråga som följande. Om $p(x)$ är delbart med $q(x)$, måste då varje nollställe $a$ till $q(x)$ även vara ett nollställe till $p(x)$?

Svaret är ja. Om $q(x)$ har grad, säg $k$, så kan vi kalla de $k$ komplexa nollställena för $a_1,a_2,\dots,a_k$.

Eftersom $p(a_i)=0$ för alla $i=1,2,\dots,k$, så måste $(x-a_1)$, $(x-a_2)$, och så vidare alla dela $p(x)$. Det betyder att produkten $(x-a_1)(x-a_2)\dots(x-a_k)$ delar $p(x)$. Alltså kan vi skriva $p(x)=(x-a_1)(x-a_2)\dots(x-a_k)r(x)$, för något polynom $r(x)$. Men vi har ju att

$q(x) = (x-a_1)(x-a_2)\dots(x-a_k)$,

så det vi har fått är att $p(x) = q(x)r(x)$. Detta betyder precis att $p(x)$ är delbart med $q(x)$.

Det omvända gäller också: Om $p(x) = q(x)r(x)$ (om $p(x)$ är delbart med $q(x)$) och $a$ är ett nollställe till $q(x)$, så är

$p(a) = q(a)r(a) = 0\cdot r(a) = 0$.

Så varje nollställe till $q(x)$ är ett nollställe till $p(x)$.

Slutsats: Ett polynom $p(x)$ är delbart med $q(x)$ om och endast om varje nollställe till $q(x)$ är ett nollställe till $p(x)$. Dessa påståenden är ekvivalenta.