7 svar
52 visningar
Swateie är nöjd med hjälpen!
Swateie 95
Postad: 8 okt 2020

Faktorsatsen

Okej , jag förstår inte hur man löser detta men enda jag vet är att 

om lösningen ska vara B och C kan man skriva det som 

(x-B) (x-C) 

men hur ska man vidare sen?

mvh 

Yngve Online 18569 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 8 okt 2020 Redigerad: 8 okt 2020

Bra början!

Jag hoppas att du menar att polynomet i vänsterledet kan skrivas (x-B)(x-C)(x-B)(x-C). I så fall stämmer det.

Du kan nu gå tillväga på två olika sätt. Pröva gärna båda!

  1. Det måste gälla att x2-Bx+C=(x-B)(x-C)x^2-Bx+C=(x-B)(x-C). Multiplicera ihop högerledets faktorer och jämför de båda sidorna. För att uttrycken ska vara identiska för alla möjliga värden på xx måste det gälla att koefficienterna framför x2x^2-termerna och xx-termerna ska vara lika och att konstanttermerna ska vara lika. Det ger dig två ekvationer för BB och CC.
  2. Lös ut xx ur ekvationen x2-Bx+C=0x^2-Bx+C=0 genom kvadratkomplettering eller med pq-formeln. De två lösningarna x1x_1 och x2x_2 ska då vara lika med BB respektive CC.

Visa gärna dina försök.

Swateie 95
Postad: 8 okt 2020
Yngve skrev:

Bra början!

Jag hoppas att du menar att polynomet i vänsterledet kan skrivas (x-B)(x-C)(x-B)(x-C). I så fall stämmer det.

Du kan nu gå tillväga på två olika sätt. Pröva gärna båda!

  1. Det måste gälla att x2-Bx+C=(x-B)(x-C)x^2-Bx+C=(x-B)(x-C). Multiplicera ihop högerledets faktorer och jämför de båda sidorna. För att uttrycken ska vara identiska för alla möjliga värden på xx måste det gälla att koefficienterna framför x2x^2-termerna och xx-termerna ska vara lika och att konstanttermerna ska vara lika. Det ger dig två ekvationer för BB och CC.
  2. Lös ut xx ur ekvationen x2-Bx+C=0x^2-Bx+C=0 genom kvadratkomplettering eller med pq-formeln. De två lösningarna x1x_1 och x2x_2 ska då vara lika med BB respektive CC.

Visa gärna dina försök.

Jag kommer tyvärr vidare ändå ...

Smaragdalena 45707 – Moderator
Postad: 8 okt 2020 Redigerad: 8 okt 2020

Du har kommit fram till att x2-Bx+C = x2-Cx-Bx+BC (jag har ite kontrollräknat). Om detta skall stämma så måste koefficienterna för x2-termen och för x-termen vara samma, och konstanttermen måste vara samma. Detta betyder att -B=-B-C och att C=BC. Du har alltså ett ekvationssystem med 2 ekvationer och 2 variabler. Kommer du ihåg från Ma2 hur man löser det?

Swateie 95
Postad: 8 okt 2020
Smaragdalena skrev:

Du har kommit fram till att x2-Bx+C = x2-Cx-Bx+BC (jag har ite kontrollräknat). Om detta skall stämma så måste koefficienterna för x2-termen och för x-termen vara samma, och konstanttermen måste vara samma. Detta betyder att -B=-B-C och att C=BC. Du har alltså ett ekvationssystem med 2 ekvationer och 2 variabler. Kommer du ihåg från Ma2 hur man löser det

 

jag kan nog lösa ekvationssytemet men varför ska koefficienter och konstanter ska vara lika, kan du förklara förstår inte det 

Yngve Online 18569 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 8 okt 2020 Redigerad: 8 okt 2020

Du kan ta fallet med två förstagradspolynom istället, det är enklare.

Tänk dig två polynom p1(x)=k1x+m1p_1(x)=k_1x+m_1 och p2(x)=k2x+m2p_2(x)=k_2x+m_2.

Dessa kan representeras av två linjer i ett koordinatsystem (enligt y=kx+my=kx+m).

För att dessa linjer ska vara identiska (dvs sammanfalla för alla möjliga värden på xx) så måste k1=k2k_1=k_2 och m1=m2m_1=m_2. Är du med på det?

Det innebär att för att våra polynom p1p_1 och p2p_2 ska vara identiska (dvs ha samma värde för alla möjliga värden på xx) så måste k1=k2k_1=k_2 och m1=m2m_1=m_2. Är du med på det?

=====

Exakt samma sak gäller för andragradspolynom

Tänk dig två polynom p1(x)=a1x2+b1x+c1p_1(x)=a_1x^2+b_1x+c_1 och p2(x)=a2x2+b2x+c2p_2(x)=a_2x^2+b_2x+c_2.

Dessa kan representeras av två parabler i ett koordinatsystem.

För att dessa parabler ska vara identiska (dvs sammanfalla för alla möjliga värden på xx) så måste a1=a2a_1=a_2, b1=b2b_1=b_2 och c1=c2c_1=c_2. Är du med på det?

Det innebär att för att våra polynom p1p_1 och p2p_2 ska vara identiska (dvs ha samma värde för alla möjliga värden på xx) så måste a1=a2a_1=a_2, b1=b2b_1=b_2 och c1=c2c_1=c_2. Är du med på det?

a1a_1 och a2a_2 är koefficienterna framför x2x^2-termerna.

b1b_1 och b2b_2 är koefficienterna framför xx-termerna.

c1c_1 och c2c_2 är konstanttermerna.

Blev det klarare då?

 

Klicka här för utökning/generalisering

Samma sak gäller för alla polynom, oavsett gradtal: För att två polynom ska vara identiska måste alla korresponderande koefficienter vara lika stora.

Swateie 95
Postad: 8 okt 2020
Yngve skrev:

Du kan ta fallet med två förstagradspolynom istället, det är enklare.

Tänk dig två polynom p1(x)=k1x+m1p_1(x)=k_1x+m_1 och p2(x)=k2x+m2p_2(x)=k_2x+m_2.

Dessa kan representeras av två linjer i ett koordinatsystem (enligt y=kx+my=kx+m).

För att dessa linjer ska vara identiska (dvs sammanfalla för alla möjliga värden på xx) så måste k1=k2k_1=k_2 och m1=m2m_1=m_2. Är du med på det?

Det innebär att för att våra polynom p1p_1 och p2p_2 ska vara identiska (dvs ha samma värde för alla möjliga värden på xx) så måste k1=k2k_1=k_2 och m1=m2m_1=m_2. Är du med på det?

=====

Exakt samma sak gäller för andragradspolynom

Tänk dig två polynom p1(x)=a1x2+b1x+c1p_1(x)=a_1x^2+b_1x+c_1 och p2(x)=a2x2+b2x+c2p_2(x)=a_2x^2+b_2x+c_2.

Dessa kan representeras av två parabler i ett koordinatsystem.

För att dessa parabler ska vara identiska (dvs sammanfalla för alla möjliga värden på xx) så måste a1=a2a_1=a_2, b1=b2b_1=b_2 och c1=c2c_1=c_2. Är du med på det?

Det innebär att för att våra polynom p1p_1 och p2p_2 ska vara identiska (dvs ha samma värde för alla möjliga värden på xx) så måste a1=a2a_1=a_2, b1=b2b_1=b_2 och c1=c2c_1=c_2. Är du med på det?

Det förstår jag absolut 😊

Swateie 95
Postad: 8 okt 2020 Redigerad: 8 okt 2020
Swateie skrev:
Yngve skrev: Är du med på det??

Det förstår jag absolut 😊

Så är B = 1

och 

-B = -C-B

det kanske är fel 😑 

Svara Avbryt
Close