Fallande regndroppe

Hej. Jag undrar om jag tänkt rätt i följande uppgift.

Anta att en regndroppe som faller genom dimma samlar upp vattenmassa med en hastighet som är proportionell mot dess tvärsnittsarea A. Anta att droppen börjar falla från vila och att dess ursprungliga radie är mycket liten, så att luftmotståndet kan försummas. Visa att regndroppens radie och fart ökar linjärt med tiden.

Min lösning (allt sker i en dimension, d.v.s. den positiva riktningen är nedåt mot marken):

Den hastighet med vilken regndroppen samlar på sig mera massa är

$\dot{m}=kA\left(t\right)=k\pi r(t{)}^2$

där k är en konstant. Regndroppens massa vid tiden t är

$m\left(t\right)=\rho V\left(t\right)=\frac{4}{3}\pi \rho r(t{)}^3$

Massans derivata är

$\dot{m}=4\pi \rho r(t{)}^2\dot{r}$

Nu likställer jag massans derivator och löser ut radiens derivata och får

$\dot{r}=\frac{k}{4\rho } \iff r\left(t\right)=\frac{k}{4\rho }t+r_0$

Radiens storlek som funktion av tiden är alltså linjär. Ser detta rätt ut?

När det gäller hastigheten gjorde jag på följande sätt

$F=\dot{p}=\frac{d}{dt}\left(mv\right)=\dot{m}v+m\dot{v}=mg \iff \dot{v}+\frac{\dot{m}}{m}v=g$

Vi har alltså en linjär första ordningens differentialekvation. Funktionen framför v fick jag till $\frac{3}{t}$. Den integrerande faktorn är $t^3$. Alltså fås

$\frac{d}{dt}\left(v{t}^3\right)=g{t}^3 \iff v{t}^3=\frac{1}{4}g{t}^4+c \iff v=\frac{1}{4}gt+\frac{c}{t^4}$

Eftersom hastigheten är noll då tiden är noll gäller

$v=\frac{1}{4}gt$

Detta är också en linjär funktion. Stämmer detta?