13 svar
222 visningar
AlvinB är nöjd med hjälpen!
AlvinB 3847
Postad: 26 dec 2019

Färgblandning i tomteverkstaden

Jag ser att det var längesen vi hade en kluring här i forumet, så här kommer en på jultema.

I tomtens julverkstad blandas röd färg. För att få precis rätt kulör blandas färgen med lite grön färg. I tomteverkstaden finns en blandningsapparat som innehåller 500 500\ \ell färg varav 85%85% röd färg och resten grön färg. I julstressen råkar en av nissarna ställa om apparaten felaktigt så att det tillförs 20 20\ \ell grön färg varje minut. Samtidigt tappas 30 30\ \ell av den blandade färgen ut varje minut och används till att göra julklappspapper. Efter ett tag märker en annan nisse att färgen blivit alldeles för grön. Han tar en titt på apparatens monitor och ser att färgen bara innehåller 60%60% röd färg. Hur lång tid har det då gått sedan apparaten ställdes om?

Denna uppgift borde vara lösbar för någon som läst Matte 5 (med hjälp av digitala verktyg). Den som vill ha en extra utmaning kan roa sig med att ta fram ett exakt svar. 

Jag tänker gissa på 61 minuter? 

Jag utgår från att det tillsätts tio liter röd färg per minut, så att färgnivån inte minskar i behållaren. Tanken är då att förändringen per minut ges som y'(t)=20t-y(t)500·30, där y(t) är en funktion som visar mängden grön färg i tanken. Det är dock något som skaver när jag skriver detta, men man lär sig mer på att ha fel än att ha rätt. :)

AlvinB 3847
Postad: 26 dec 2019

Nja, nu är det så att nissen av misstag programmerat apparaten så att det inte tillförs någon röd färg alls (även om det inte är så det är tänkt att det skall fungera). Detta gör att vi faktiskt får en nettoförlust på 10 10\ \ell färg i tanken varje minut.

tomast80 3241
Postad: 26 dec 2019

Jag gissar på:

Visa spoiler

10,5 min.

AlvinB 3847
Postad: 26 dec 2019
tomast80 skrev:

Jag gissar på:

Visa spoiler

10,5 min.

Dessvärre inte samma svar som jag fått. Kan man få se hur du tänkt?

tomast80 3241
Postad: 26 dec 2019
AlvinB skrev:
tomast80 skrev:

Jag gissar på:

Visa spoiler

10,5 min.

Dessvärre inte samma svar som jag fått. Kan man få se hur du tänkt?

Missade en detalj i formuleringen av uppgiften. Med omräkning får jag nu:

Visa spoiler

6,5 min.

AlvinB 3847
Postad: 26 dec 2019

Fortfarande inte mitt svar. Kanske har du tolkat uppgiften annorlunda än jag?

Det är därför jag är lite intresserad av hur du kommer fram till ditt svar. :-)

tomast80 3241
Postad: 26 dec 2019 Redigerad: 26 dec 2019

Jag har satt upp det enligt följande:

Visa spoiler

g(t)g(t) är mängden grön färg.

T(t)T(t) är mängden total färg (grön+röd).

g'(t)=20-30·g(t)T(t)g'(t)=20-30\cdot \frac{g(t)}{T(t)}

T'(t)=-10T'(t)=-10

g(0)=75g(0)=75

T(0)=500T(0)=500

Söker tt så att:

T(t)-g(t)T(t)=610\frac{T(t)-g(t)}{T(t)}=\frac{6}{10}

AlvinB 3847
Postad: 26 dec 2019

Märkligt. Vi tycks ha ställt upp exakt samma villkor men kommit fram till olika svar. Vad får du för lösningar på differentialekvationerna?

tomast80 3241
Postad: 26 dec 2019 Redigerad: 26 dec 2019

Gjorde tyvärr ett slarvfel till... ☹️

Nu får jag slutligen:

Visa spoiler

t=50-10021715,7t=50-100\sqrt{\frac{2}{17}}\approx 15,7 min.

AlvinB 3847
Postad: 26 dec 2019 Redigerad: 26 dec 2019

Nästan... Jag tycker vi borde få:

Visa spoiler

t=50-1003177,99t=50-100\sqrt{\dfrac{3}{17}}\approx7,99

tomast80 3241
Postad: 27 dec 2019 Redigerad: 27 dec 2019

Ok. Jag får följande funktion för grön färg:

Visa spoiler

g(t)=75+31t2-51t2100+17t35000g(t)=75+\frac{31t}{2}-\frac{51t^2}{100}+\frac{17t^3}{5000}

Vad fick du?

tomast80 3241
Postad: 27 dec 2019 Redigerad: 27 dec 2019
AlvinB skrev:

Nästan... Jag tycker vi borde få:

Visa spoiler

t=50-1003177,99t=50-100\sqrt{\dfrac{3}{17}}\approx7,99

Du hade rätt! Hade gjort ytterligare ett slarvfel. 😳 Hjärnan verkar ”bortkopplad” nu under julledigheten...

Jag hade räknat på 60 % grön färg istället för röd. Tar ju längre tid att nå den koncentrationen såklart.

AlvinB 3847
Postad: 27 dec 2019 Redigerad: 27 dec 2019

Ja, du hade tålamod att försöka i alla fall! :-)

Bifogar min egen lösning för den som är intresserad.

Visa spoiler

Förloppet beskrivs väl med en differentialekvation. Enklast uppställning får vi om vi låter mängden grön färg (i liter) betecknas med g(t)g(t). En viktig dimension i problemet är att den totala volymen färg i tanken inte hålls konstant, utan minskar med 10 /min10\ \ell/\text{min} eftersom 20 20\ \ell tillförs och 30 30\ \ell tappas varje minut. Volymen V(t) V(t)\ \ell färg i tanken börjar på 500 500\ \ell och minskar med 10 /min10\ \ell/\text{min}, vilket ger att V(t)=500-10tV(t)=500-10t.

Varje minut förs 20 20\ \ell grön färg in i tanken. Varje minut förs även 30 30\ \ell ut, men inte all denna färg är grön. Halten grön färg i tanken är g(t)/V(t)g(t)/V(t) liter grön färg/liter färg. Därför är 30·g(t)/V(t)30\cdot g(t)/V(t) liter av dessa 30 30\ \ell grön färg. Dessa värden för in- och utförsel varje minut ger differentialekvationen:

g't=20-30·g(t)500-10tg't+3g(t)50-t=20g'\left(t\right)=20-30\cdot\dfrac{g(t)}{500-10t}\Rightarrow g'\left(t\right)+\dfrac{3g(t)}{50-t}=20

för 0t500\leq t\leq 50

(efter 50 min50\ \text{min} är tanken tom)

Denna ekvation löses med en integrerande faktor, eμ(t)e^{\mu(t)} där μ(t)\mu(t) är:

μt=350-t dt=-3ln50-t\displaystyle\mu\left(t\right)=\int\frac{3}{50-t}\ dt=-3\ln\left(50-t\right)

eμ(t)=e-3ln(50-t)=eln50-t-3=1(50-t)3e^{\mu(t)}=e^{-3\ln(50-t)}=\left(e^{\ln\left(50-t\right)}\right)^{-3}=\dfrac{1}{(50-t)^3}

eμ(t)(g't+3g(t)50-t)=20eμ(t)e^{\mu(t)}(g'\left(t\right)+\dfrac{3g(t)}{50-t})=20e^{\mu(t)}

g't·1(50-t)3+gt·3(50-t)4=20(50-t)3g'\left(t\right)\cdot\dfrac{1}{(50-t)^3}+g\left(t\right)\cdot\dfrac{3}{(50-t)^4}=\dfrac{20}{(50-t)^3}

(gt·1(50-t)3)'=20(50-t)3(g\left(t\right)\cdot\dfrac{1}{(50-t)^3})'=\dfrac{20}{(50-t)^3}

(gt·1(50-t)3)' dt=20(50-t)3 dt\displaystyle\int(g\left(t\right)\cdot\dfrac{1}{(50-t)^3})'\ dt=\int\dfrac{20}{(50-t)^3}\ dt

g(t)(50-t)3=10(50-t)2+C\dfrac{g(t)}{(50-t)^3}=\dfrac{10}{(50-t)^2}+C

gt=10(50-t)+C(50-t)3=(50-t)(10+C(50-t)2)g\left(t\right)=10(50-t)+C(50-t)^3=(50-t)(10+C(50-t)^2)

Ursprungligen i tanken finns det 500 500\ \ell, varav 15%15% grön färg. Det ger att g(0)=500·0,15=75g(0)=500\cdot0,15=75, vilket låter oss lösa ut för CC:

75=(50-0)(10+C(50-0)2)75=(50-0)(10+C(50-0)^2)

75=50(10+2500C)75=50(10+2500C)

75=500+125000C75=500+125000C

C=-425125000=-175000C=-\dfrac{425}{125000}=-\dfrac{17}{5000}

gt=50-t(10-17(50-t)25000)g\left(t\right)=\left(50-t\right)(10-\dfrac{17(50-t)^2}{5000})

Vi söker tiden tt då mängden röd färg är lika med 60%=6/1060%=6/10. Det ges då:

1-g(t)V(t)=6101-\dfrac{g(t)}{V(t)}=\dfrac{6}{10}

1-50-t(10-17(50-t)25000)500-10t=6101-\dfrac{\left(50-t\right)(10-\frac{17(50-t)^2}{5000})}{500-10t}=\dfrac{6}{10}

1-50-t10-17(50-t)2500010(50-t)=6101-\dfrac{\cancel{\left(50-t\right)}\left(10-\frac{17(50-t)^2}{5000}\right)}{10\cancel{(50-t)}}=\dfrac{6}{10}

1-(1-17(50-t)250 000)=6101-(1-\dfrac{17(50-t)^2}{50\ 000})=\dfrac{6}{10}

1750-t2=6·50 0001017\left(50-t\right)^2=\dfrac{6\cdot 50\ 000}{10}

17(50-t)2=30 00017(50-t)^2=30\ 000

50-t2=30 00017\left(50-t\right)^2=\dfrac{30\ 000}{17}

50-t=±10 000·31750-t=\pm\sqrt{\dfrac{10\ 000\cdot 3}{17}}

t=50±100317t=50\pm100\sqrt{\dfrac{3}{17}}

Den enda lösningen som ligger i intervallet 0t500\leq t\leq50 är:

t=50-100317=500-10017517,99t=50-100\sqrt{\dfrac{3}{17}}=500-\dfrac{100}{17}\sqrt{51}\approx7,99

SVAR: 7,99 min\boxed{\text{SVAR:}\ 7,99\ \text{min}}

Svara Avbryt
Close