Färgblandning i tomteverkstaden

10,5 min.

6,5 min.

$g(t)$ är mängden grön färg.

$T(t)$ är mängden total färg (grön+röd).

$g'(t)=20-30\cdot \frac{g(t)}{T(t)}$

$T'(t)=-10$

$g(0)=75$

$T(0)=500$

Söker $t$ så att:

$\frac{T(t)-g(t)}{T(t)}=\frac{6}{10}$

$t=50-100\sqrt{\frac{2}{17}}\approx 15,7$ min.

$t=50-100\sqrt{\dfrac{3}{17}}\approx7,99$

$g(t)=75+\frac{31t}{2}-\frac{51t^2}{100}+\frac{17t^3}{5000}$

Förloppet beskrivs väl med en differentialekvation. Enklast uppställning får vi om vi låter mängden grön färg (i liter) betecknas med $g(t)$. En viktig dimension i problemet är att den totala volymen färg i tanken inte hålls konstant, utan minskar med $10\ \ell/\text{min}$ eftersom $20\ \ell$ tillförs och $30\ \ell$ tappas varje minut. Volymen $V(t)\ \ell$ färg i tanken börjar på $500\ \ell$ och minskar med $10\ \ell/\text{min}$, vilket ger att $V(t)=500-10t$.

Varje minut förs $20\ \ell$ grön färg in i tanken. Varje minut förs även $30\ \ell$ ut, men inte all denna färg är grön. Halten grön färg i tanken är $g(t)/V(t)$ liter grön färg/liter färg. Därför är $30\cdot g(t)/V(t)$ liter av dessa $30\ \ell$ grön färg. Dessa värden för in- och utförsel varje minut ger differentialekvationen:

$g'\left(t\right)=20-30\cdot\dfrac{g(t)}{500-10t}\Rightarrow g'\left(t\right)+\dfrac{3g(t)}{50-t}=20$

för $0\leq t\leq 50$

(efter $50\ \text{min}$ är tanken tom)

Denna ekvation löses med en integrerande faktor, $e^{\mu(t)}$ där $\mu(t)$ är:

$\displaystyle\mu\left(t\right)=\int\frac{3}{50-t}\ dt=-3\ln\left(50-t\right)$

$e^{\mu(t)}=e^{-3\ln(50-t)}=\left(e^{\ln\left(50-t\right)}\right)^{-3}=\dfrac{1}{(50-t)^3}$

$e^{\mu(t)}(g'\left(t\right)+\dfrac{3g(t)}{50-t})=20e^{\mu(t)}$

$g'\left(t\right)\cdot\dfrac{1}{(50-t)^3}+g\left(t\right)\cdot\dfrac{3}{(50-t)^4}=\dfrac{20}{(50-t)^3}$

$(g\left(t\right)\cdot\dfrac{1}{(50-t)^3})'=\dfrac{20}{(50-t)^3}$

$\displaystyle\int(g\left(t\right)\cdot\dfrac{1}{(50-t)^3})'\ dt=\int\dfrac{20}{(50-t)^3}\ dt$

$\dfrac{g(t)}{(50-t)^3}=\dfrac{10}{(50-t)^2}+C$

$g\left(t\right)=10(50-t)+C(50-t)^3=(50-t)(10+C(50-t)^2)$

Ursprungligen i tanken finns det $500\ \ell$, varav $15$ grön färg. Det ger att $g(0)=500\cdot0,15=75$, vilket låter oss lösa ut för $C$:

$75=(50-0)(10+C(50-0)^2)$

$75=50(10+2500C)$

$75=500+125000C$

$C=-\dfrac{425}{125000}=-\dfrac{17}{5000}$

$g\left(t\right)=\left(50-t\right)(10-\dfrac{17(50-t)^2}{5000})$

Vi söker tiden $t$ då mängden röd färg är lika med $60$. Det ges då:

$1-\dfrac{g(t)}{V(t)}=\dfrac{6}{10}$

$1-\dfrac{\left(50-t\right)(10-\frac{17(50-t)^2}{5000})}{500-10t}=\dfrac{6}{10}$

$1-\dfrac{\cancel{\left(50-t\right)}\left(10-\frac{17(50-t)^2}{5000}\right)}{10\cancel{(50-t)}}=\dfrac{6}{10}$

$1-(1-\dfrac{17(50-t)^2}{50\ 000})=\dfrac{6}{10}$

$17\left(50-t\right)^2=\dfrac{6\cdot 50\ 000}{10}$

$17(50-t)^2=30\ 000$

$\left(50-t\right)^2=\dfrac{30\ 000}{17}$

$50-t=\pm\sqrt{\dfrac{10\ 000\cdot 3}{17}}$

$t=50\pm100\sqrt{\dfrac{3}{17}}$

Den enda lösningen som ligger i intervallet $0\leq t\leq50$ är:

$t=50-100\sqrt{\dfrac{3}{17}}=500-\dfrac{100}{17}\sqrt{51}\approx7,99$

$\boxed{\text{SVAR:}\ 7,99\ \text{min}}$