fast på polynomuppgift

Prova om faktorsatsen ger något intressant! Ett polynom med nollställena x_i, x_j och x_k kan skrivas på formen $p\left(x\right)=k(x-x_i)(x-x_j)(x-x_k)$, där k är en reell konstant. :)

books skrev:

jag behöver finna ett polynom med nollställena 3, 3+i och 3+2*i, med så lågt gradtal som möjligt (minst 1 och reella koefficienter). vad jag förstår kommer detta befinna sig på det komplexa talplanet med x y koordinaterna (3,0) (3,1) och (3,2). om jag förstår rätt bör väl detta bli en rak linje som går vertikalt, enligt https://i.gyazo.com/d0a28f0c3ba690638226da1078d6edbd.png

hur kan jag konstruera ett komplext polynom med bestämda nollställen? jag tänker mig att gradtalet måste åtminstone vara 3 eftersom att den måste ha tre lösningar, nollställen.

Här behöver du veta tre saker:

1. Nollställena till ett komplext polynom med reella koefficienter förekommer alltid i komplexkonjugerade par, dvs om ett nollställe är $z=a+bi$ så är även $z=a-bi$ ett nollställe.
2. Om polynomet $p(z)$ har nollställen $z_1$, $z_2$, $z_3$ så kan polynomet skrivas i faktorform enligt $p(z)=k(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)$. Samma sak gäller om polynomet har fler nollställen.
3. Om du multiplicerar ihop faktorerna parvis så kommer dessa produkter att ha reella koefficienter.

Kommer du vidare då?

tack för de snabba svaren!

så steget framåt vore att skriva det enligt p(z) = k(z-(3))(z-(3+i))(z-(3+2i)) och sedan multiplicera ihop faktorerna? 

eller nej, det vore ju då konjugatet jag använder, så alltså

k(3)(3-i)(3-2i)

vilket ger k(9-3i)(3-2i) = k(27+18i+6i^2) = k(27+18i-6) = k(21+18i)

Nja, det blir inte rätt. Använd din första idé istället (p(z) = k(z-(3))(z-(3+i))(z-(3+2i)))! Förenkla det, vad får du? :)

aha ok! går vidare så, återkommer

Jag tror att du kommer att behöva använda både tips 1 och tips 3 från detta svar för att få ett polynom med reella koefficienter.

hur menar du med att multiplicera ihop dem parvis? ska jag multiplicera dem som konjugerade uttryck

(3)(3-i)(3-2i) = 27-27i+6i^2

eller som

(3)(3+i)(3+2i) = 27+27i+6i^2

Du multiplicerar ihop faktorn x-(3+i) med komplexkonjugatet d v s x-(3+i). Vilket andragradspolynom får du då?

Vilken faktor skall du multiplicera faktorn x-(3+2i) med? Vilket andragradspolynom får du då?

OK jag tror jag börjar fatta, kanske 

om vi har z (z-3)(z-(3+i))(z+(3+2i))=0, så kommer 
z1 = 3

z2 = 3+i

z3 = 3+2i

$(21+27i)z-(7+12i)z^2-(3-i)z^3+z^4$

fast detta blir väl då inte reela koefficienter?

@Smaragdalena

så alltså x-(3+i) * x-(3-i) = x+(-3-i) * x+(-3+i) 

och faktorn jag multiplicerar x-(3+2i) blir x-(3-2i)?

Smaragdalena skrev:

Du multiplicerar ihop faktorn x-(3+i) med komplexkonjugatet d v s x-(3+i). Vilket andragradspolynom får du då?

Vilken faktor skall du multiplicera faktorn x-(3+2i) med? Vilket andragradspolynom får du då?

Följ råden du har fått här. Jag borde kanske ha använt z som variabel i stället för x, eftersom det är komplexa tal. 

jag kommer förhoppningsvis kunna lösa uppgiften med hjälpen jag fått här, tack för er tid!

books skrev:

@Smaragdalena

så alltså x-(3+i) * x-(3-i) = x+(-3-i) * x+(-3+i) 

och faktorn jag multiplicerar x-(3+2i) blir x-(3-2i)?

 Behåll parentesen runt (3-i) och (3+i) en stund, så blir det enklare beräkningar tack vare konjugatregeln. Vad blir uttrycket när du multiplicerar ihop det?

Ja, faktorn du skall multiplicera med är x-(3-2i). Vad blir uttrycket när du har multiplicerat ihop det?

Mitt tips 1 innebär att om 3+i är ett nollställe så är även dess komplexkonjugat (dvs 3-i) ett nollställe.

Samma sak gäller för nollstället 3+2i. Även 3-2i är ett nollställe.

Det betyder att ditt polynom måste vara åtminstone av grad 5:

$p(z)=k(z-3)(z-(3+i))(z-(3-i))(z-(3+2i))(z-(3-2i))$

Om du nu multiplicerar ihop de faktorer som innehåller nollställena och deras kpmplexkonjugat så kommer dessa produkter vara polynom av grad 2 med reella koefficienter.

Det kan underlätta att då skriva om t.ex. $(z-(3+i))(z-(3-i))$ som $((z-3)-i)((z-3)+i)$ och sedan använda konjugatregeln.

Yngve formulerar det bättre. Följ hans råd.