Fattar ej en räkneregel för integraler

Blir det tydligare så här?

$$\begin{gathered} {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\hspace{0.17em}F\left(b\right) - F\left(a\right) \\ {\int }_b^{a}f\left(x\right)dx=\hspace{0.17em}F\left(a\right) - F\left(b\right) \end{gathered}$$

revolten skrev :

Hej!

Hur ser man (13) geometrisk? För jag förstår inte varför en integral från a till b inte är lika med en integral från b till a. Varför blir integralen negativ?

Det är enkelt att se det algebraiskt.

Om F(x) är en primitiv funktion till f(x) så gäller att (I1 är den första integralen och I2 är den andra integralen):

l1 = F(b) - F(a)

I2 = F(a) - F(b)

Eftersom F(b) - F(a) = -(F(a) - F(b)) så är I1 = -I2 

Anledningen är integraldefinition.För att beräkna ${\int }_a^{b}f\left(x\right) dx$ delar vi intervallet till små delar t.ex 

$∆$$x_i$=$x_i-x_{i-1}$  där $x_i\ge x_{i-1}$ , så att $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=0}^{n}f(x_i)∆x_i={\int }_a^{b}f(x)dx$

Medan ${\int }_b^{a}f\left(x\right)dx$ =$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{j=0}^{n}f(x_j)∆x_j$    där  $∆x_j=x_j-x_{j-1}$  ,    $x_{j-1}\ge x_j$

Slutsatsen: 

  $$\begin{gathered} ∆x_i=-∆x_j f\left(x_i\right)=f\left(x_j\right) och \\ {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\underset{n\to \infty }{\lim } \sum _{i=0}^{n}f\left(x_i\right)∆x_i=\underset{n\to \infty }{\lim } \sum _{j=0}^{n}f\left(x_j\right)(-∆x_j)= \\ =-\underset{n\to \infty }{\lim } \sum _{j=0}^{n}f\left(x_j\right)∆x_j={\int }_b^{a}f\left(x\right)dx \end{gathered}$$

Hej!

Enligt en räkneregel kan man skriva 

    $\int_{a}^{b} + \int_{b}^{a} = \int_{a}^{a}$.

Men $\int_{a}^{a} =0$, vilket visar det du ville.

Albiki