Fermats lilla sats

Med kunskapen att $120=119+1=7\cdot17+1$ kan vi göra omskrivningen:

$x^{120}=x^{7\cdot17+1}=(x^7)^{17}\cdot x$

Som du uttrycker Fermats lilla sats får man att $n^p-n\equiv0\ \pmod{p}$ då $p\in\mathbb{P}$, men man kan ju också skriva om det som $n^p\equiv n\ \pmod{p}$. Det ger att $x^{7}\equiv x\ \pmod{7}$ och att:

$x^{120}\equiv x^{17}\cdot x\ \pmod{7}$

$x^{120}$ är alltså kongruent med $x^{17}\cdot x=x^{18}$ modulo $7$. Hjälper det?

EDIT: Oj oj, nu krånglar jag till det. Strunta i ovanstående. Som du formulerar fermats lilla sats får du ju $n^p-n\equiv0\ \pmod{p}$ då $p$ är ett primtal. Detta är ekvivalent med $n^p\equiv n\ \pmod{p}$. Om $p$ inte delar $n$ ($n$ och $p$ är relativt prima) kan man skriva om detta till:

$n^{p-1}\equiv1\ \pmod{p}$

Detta är en vanlig omskrivning av Fermats lilla sats. I detta fall ger den att $x^6\equiv1\ \pmod{p}$ vilket är väldigt användbart för oss då vi kan skriva:

$x^{120}=x^{6\cdot20}=(x^6)^{20}$

EDIT 2: Observera dock att detta bara gäller ifall $7$ inte är en delare till $x$. Om $x$ är delbart med sju blir ju nämligen $x^{120}\equiv0\ \pmod{7}$.

Hej!

Fermats lilla sats säger att om $p$ är ett primtal och $x$ är ett heltal så får man resten $x$ om man dividerar talet $x^p$ med $p$;

    $x^{p} = (\text{Ett heltal}) \cdot p + x$.

Notera att detta betyder att heltalet $x$ ligger i mängden $0,1,2,\ldots, p-1$, för om $x$ är större än $p$ så kan man dividera $x$ med $p$ och får $x = \text{Ett heltal} \cdot p + r$ där resten $r \in \{0,1,2,\ldots,p-1\}$. 

De heltal ($x$) som du söker finns alltså i mängden $\{0,1,2,3,4,5,6\}$. 

Du kan skriva $120 = 1 + 7\cdot 17$ vilket ger $x^{120} = x^{1} \cdot (x^{17})^{7}$ och Fermats lilla sats ger att

    $(x^{17})^{7} = (\text{Ett heltal})\cdot 7 + x^{17}$.

Sedan är $17 = 3 + 2\cdot 7$ så att $x^{17} = x^{3} \cdot (x^{2})^{7}$ och Fermats lilla sats ger att

    $(x^{2})^{7} = (\text{Ett heltal})\cdot 7 + x^{2}$.

Sammantaget har du

    $x^{120} = x\cdot ((\text{Ett heltal})\cdot 7 + x^{3} \cdot ((\text{Ett heltal})\cdot 7 + x^{2})) = (\text{Ett heltal})\cdot 7+x^{6}$.

En konsekvens av Fermats lilla sats är att $x^6=(\text{Ett heltal})\cdot 7 + 1$ vilket ger att

    $x^{120}=(\text{Ett heltal})\cdot 7 + 1$.

Du vet nu att

    $x^{120}+x^3+2x^2+x+3=(\text{Ett heltal})\cdot 7 +x^3+2x^2+x+4$

och undrar om det finns några $x\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$ som är sådana att

    $x^3+2x^2+x+4=(\text{Ett heltal})\cdot 7.$

Det enklaste sättet att besvara frågan är att pröva de sju heltalen. Man ser direkt att $x\neq0$ och att $x\neq1$. 

När du väl funnit de $x$ som uppfyller kravet så finner du samtliga lösningar till ditt ursprungliga problem bland mängden av alla heltal som ger resten $x$ då de divideras med talet $7.$ 

Tack så mycket för hjälpen!