Fetaste uppgiften ever

Hej, se här: 

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{n}{e}^n}{\int }_n^{n+1}\sqrt{x}{e}^{x}dx$

 

L'hospitalsregel tillsammans med analysens huvudsats ger:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{d}{dn}}({\int }_0^{n+1}\sqrt{x}{e}^{x}dx-{\int }_0^n\sqrt{x}{e}^{x}dx)}{{\displaystyle \frac{d}{dn}}\sqrt{n}{e}^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n+1}{e}^{n+1}-\sqrt{n}{e}^n}{{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{n}}}{e}^n+\sqrt{n}{e}^n}$

Dela med den snabbast växande termen $\sqrt{n+1}{e}^{n+1}$

$\frac{1-{\displaystyle \frac{1}{e}}}{{\displaystyle \frac{1}{e}}}=e-1$

Tadaa! Roligaste uppgiften jag gjort på länge som kombinerar två saker jag lärt mig i en enda stor fet grandios fråga. Så får ni ta del av den.