Find the flux of F = xi + zj

Jag tror du blandar ihop några koncept.

Du har tagit fram  en parametrisering $\mathbf{r}(x,y)$ av ytan som bildar ett "tak" över ett triangelområde i xy-planet. Den stämmer förutom att det ska vara ett plustecken mellan $x$ och $2y$.

Sedan beräknar du arean av den triangelytan men glömmer att basytan (parameterområdet) också är ett triangelområde. Det korrekta uttrycket för just den arean är egentligen

$\displaystyle \int_{x=0}^6\int_{y=0}^{3-x/2}\sqrt{14}/3\,dxdy=3\sqrt{14}\,\,\mathrm{A.E.}$

Men det är inte arean du ska beräkna, utan flödet genom ytan som ges av

$\displaystyle \int_A\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\int_S \mathbf{F}(\mathbf{r}\left(x,y\right))\cdot \mathbf {N} dxdy$

Fältet är $\mathbf{F}=(x,z,0)$ vilket med din parametrisering alltså blir

$\mathbf{F}=(x,2-\frac{x+2y}{3},0)$

Normalen till ytan blir $\mathbf{N}=(-z^\prime_x,-z^\prime_y,1)=(\frac13,-\frac23,1)$

I facit har de räknat med enhetsnormalen, och du får naturligtvis normera den om du vill, men skilj alltså på $\hat{\mathbf{N}}$ och $\mathbf{N}$. Du måste då multiplicera med normen på slutet, förmodligen har ni färdiga formler för det.

Vi räknar ut skalärprodukten $\mathbf{F}\cdot \mathbf{N}=\frac19 (12 + x - 4 y)$

Flödet ut från just den delytan blir alltså

$\displaystyle \int_{x=0}^6\int_{y=0}^{3-x/2}\frac19 (12 + x - 4 y)\,dxdy=10$

Jag vill slutligen nämna att den här uppgiften blir mycket enklare med Gauss divergenssats. Volymen av en pyramid ges som bekant av basytan gånger höjden genom tre och blir i vårt fall $V=6$). Divergensen av fältet är $\nabla \cdot \mathbf{F}=1$. Alltså blir det totala utflödet bara volymen av tetradern:

$\displaystyle \int_A \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\int_V\nabla \cdot \mathbf{F}\,dV=\int_V 1\,dV=6$ (Mycket enklare än att räkna ut normaler för varje delyta osv...)