Find the laplace transform of a piecewise function

Du ska nog bara använda definitionen rakt av.

MrPotatohead skrev:

Du ska nog bara använda definitionen rakt av.

Jo jag försökte men har fastnat så kan typ inte göra något efter att ha skrivit upp definitionen.  Jag kollade bara formlerna nedan men jag vet inte vilken av dessa jag ska använda mig av dem. Här är bild på samtliga kända identiteter.

Se om du kan hitta ett sätt att kombinera (4) och (13) från ditt formelblad för att beskriva din funktion. Tänk på att $\sin(t)$ är $2\pi$-periodisk.

D4NIEL skrev:

Se om du kan hitta ett sätt att kombinera (4) och (13) från ditt formelblad för att beskriva din funktion. Tänk på att $\sin(t)$ är $2\pi$-periodisk.

Så långt kom jag mha partiell integration. Hur går jag till väga sen?

Jag tror du slarvar lite här (eller också missförstår jag dig helt), dels är det teckenfel, dels blir det inte Laplacetransformen av $\sin(t)$

Du får istället kvar (partiell integration en gång till)

$\displaystyle I=\frac{1}{s}\int_0^{2\pi}e^{-st}\cos\left(t \right)\,\mathrm{d}t=\left.\frac{1}{-s^2}e^{-st}\cos\left(t\right)\right|_{0}^{2\pi}-\frac{1}{s^2}\underbrace{\int_0^{2\pi}e^{-st}\sin\left(t\right)\,\mathrm{d}t}_{I}$

Nu är det enkelt att lösa ut $I$.

Jag skulle också rekommendera dig att göra en lösning som baserar sig på ert formelblad. Det sparar ju mycket tid på en tenta om man slipper integrera! Uppgiftens funktion $f(t)$ kan skrivas som

$f(t)=\sin(t)-\mathcal{U}(t-2\pi)\sin(t-2\pi)$

Nu kan man tillämpa (13) och (4) direkt.

D4NIEL skrev:

Jag tror du slarvar lite här (eller också missförstår jag dig helt), dels är det teckenfel, dels blir det inte Laplacetransformen av $\sin(t)$

Du får istället kvar (partiell integration en gång till)

$\displaystyle I=\frac{1}{s}\int_0^{2\pi}e^{-st}\cos\left(t \right)\,\mathrm{d}t=\left.\frac{1}{-s^2}e^{-st}\cos\left(t\right)\right|_{0}^{2\pi}-\frac{1}{s^2}\underbrace{\int_0^{2\pi}e^{-st}\sin\left(t\right)\,\mathrm{d}t}_{I}$

Nu är det enkelt att lösa ut $I$.

Jag skulle också rekommendera dig att göra en lösning som baserar sig på ert formelblad. Det sparar ju mycket tid på en tenta om man slipper integrera! Uppgiftens funktion $f(t)$ kan skrivas som

$f(t)=\sin(t)-\mathcal{U}(t-2\pi)\sin(t-2\pi)$

Nu kan man tillämpa (13) och (4) direkt.

Ja asså jag förstår tyvärr inte vad du gör nu. Jag kan inte på en lösning som matchar formelbladet , därför gjorde jag partiell integration. Omskrivning om f(t) vet jag inte var du får ifrån? Så den biten är inte jag alls med för att tillämpa (4) och (13). 

Din integral är korrekt fram till

För att fortsätta härifrån kan du utföra ytterligare en partiell integration och sammanlagt får  du alltså:

$\displaystyle I=\int_{0}^{2\pi}e^{-st}\sin\left(t\right)\,\mathrm{d}t=\left[\dots\right]=$

$=\displaystyle \frac{1}{s}\int_0^{2\pi}e^{-st}\cos\left(t\right)\,\,\mathrm{d}t=\left.\frac{1}{-s^2}e^{-st}\cos\left(t\right)\right|_{0}^{2\pi}-\frac{1}{s^2}\underbrace{\int_0^{2\pi}e^{-st}\sin\left(t\right)\,\mathrm{d}t}_{I}$

Om vi nu adderar  $\frac{1}{s^2}I$ till båda sidor samt multiplicerar med $s^2$ och sätter in värden för att utvärdera integralen får vi

$I(1+s^2)=1-e^{-2\pi s}$

$I=\displaystyle \frac{1-e^{-2\pi s}}{1+s^2}$

Är du med?