Finn en regel för delbarhet med 11

Jämför först med regeln för delbarhet med 9, och att 10 är kongruent med 1 modulo 9.

Det kan vara svårt, men då är den här uppgiften faktiskt svår.

Okej, jag försöker.

Ett tips kan vara att titta på några exempel på tal som är delbara med 11 och försöka se ett mönster!

En bra början skulle t.ex. kunna vara att beräkna de, säg, 50 första talen som är delbara med 11:

1*11=11

2*11=22

3*11=33

...

/fyll i resten själv/

...

49*11=539

50*11=550

Lite mer ledning:

• $10 \equiv -1\ (\mod 11)$
• $100 = 10^2 \equiv (-1)^2\ (\mod 11) \equiv 1\ (\mod 11)$
• $1\,000 = 10^3 \equiv (-1)^3\ (\mod 11) \equiv -1\ (\mod 11)$
• $10\,000 = 10^4 \equiv (-1)^4\ (\mod 11) \equiv 1\ (\mod 11)$
• $100\,000 = 10^5 \equiv (-1)^5\ (\mod 11) \equiv -1\ (\mod 11)$
• $1\,000\,000 = 10^6 \equiv (-1)^6\ (\mod 11) \equiv 1\ (\mod 11)$
• osv

Slutsats:

• Jämna potenser av 10 motsvarar +1 (mod 11), medan udda potenser av 10 motsvarar -1 (mod 11)

Om du delar upp ett givet tal i ental, tiotal,  hundratal , tusental o.s.v., så kan du utnyttja denna egenskap för att ta reda på om talet blir 0 (mod 11), d.v.s. delbart med 11.

T.ex. 649117 är inte delbart med 11:

$649117 = 6 \cdot 10^5 + 4 \cdot 10^4 + 9 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 1\cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0$

$\equiv 6 \cdot (-1) + 4 \cdot (+1) + 9 \cdot (-1) + 1 \cdot (+1) + 1\cdot (-1) + 7 \cdot (+1)\ (\mod 11)$

$\equiv -6-9-1 + 4+1+7\ (\mod 11) \equiv -4 \ (\mod 11) \equiv 7 \ (\mod 11) \not\equiv 0 \ (\mod 11)$

T.ex. 1276 är delbart med 11:

$1276 = 1 \cdot 10^3 + 2\cdot 10^2 + 7 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0 \equiv 1\cdot(-1) + 2 \cdot (+1) + 7 \cdot (-1) + 6 \cdot (+1) \ (\mod 11) \equiv 0 \ (\mod 11)$

Kan du se mönstret?

Jag tror det. Summan av alla termer ska bli 0 och det blir varannan term positiv.. och varje positiv ökar med 1..

Och egentligen sammanfattat då om siffersumman med alternerade tecken blir 0 är det delbart med 11, fast det stod i facit.

Fast jag förstår inte exakt varför man bara kan multiplicera -1/+1 med ett tal och att det summerat blir samma sak som resten för hela sammanlagda talet.

Det är bara att man utnyttjar räknelagarna för moduloräkning flera gånger.

Antag att $a \equiv r_1\ (\mod d)$  och  $b \equiv r_2\ (\mod d)$. Då gäller att:

• $a+b \equiv r_1+r_2\ (\mod d)$
• $a\,b \equiv r_1\,r_2\ (\mod d)$

(Dessa räknelagar frågade du om i dina tidigare trådar om uppgift 2149)

Jo, tänkte det. Har bara lite svårt att placera den i alla sammanhang, greppar det inte riktigt. Jag vet inte.

Får studera det närmare ikväll och se om det går in.

Tack!