4 svar
127 visningar
AlvinB är nöjd med hjälpen!
AlvinB 3181
Postad: 14 nov 2018 Redigerad: 14 nov 2018

Finn felet i en beräkning av integral.

Hej!

Satt nyligen och filosoferade över lite komplex analys och fick idén till följande problem:

Säg att vi har integralen:

0ex2 dx\displaystyle\int_0^{\infty}e^{x^2}\ dx

För att kunna få fram ett värde på detta skulle det vara mycket trevligt om vi istället hade -t2-t^2 istället för x2x^2, för då kan vi använda oss av den välkända Gaussintegralen. Säg då att vi inför ett variabelbyte sådant att:

x2=-t2x^2=-t^2

Drar vi roten ur båda sidor får vi:

x=itx=it

och då blir differentialerna:

dx=i dtdx=i\ dt

Gränserna i vår integral blir:

x=0t=i·0=0x=0\Rightarrow t=i\cdot0=0

x=t=i·=x=\infty\Rightarrow t=i\cdot\infty=\infty

och alltså får vi:

0ex2 dx=i0e-t2 dt=iπ2\displaystyle\int_0^{\infty}e^{x^2}\ dx=i\int_0^{\infty}e^{-t^2}\ dt=i\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}

Det tar inte lång tid att inse att detta svar är orimligt. För det första borde integralen inte konvergera eftersom ex2e^{x^2}\to\infty när xx\to\infty och för det andra borde resultatet inte bli imaginärt då integranden endast är reellvärd.

Min fråga är då: Vad är fel i ovanstående uträkning? Varför kommer man fram till ett nonsensresultat med en till synes vanlig tillämpning av integreringsmetoderna?

Trinity 195
Postad: 14 nov 2018

Din avbildning x=it avbildar från xRx \in R till tCt \in C. Det är en helt annat integrationsintervall och du får inte 'Gauss integral'.

AlvinB 3181
Postad: 14 nov 2018
Trinity skrev:

Din avbildning x=it avbildar från xRx \in R till tCt \in C. Det är en helt annat integrationsintervall och du får inte 'Gauss integral'.

 Ja, det är rätt, men om du preciserar dig lite mer, varför är det så? Det går ju att göra ett variabelbyte x=3tx=3t, varför blir det då pannkaka om man gör det med x=itx=it?

Trinity 195
Postad: 14 nov 2018
AlvinB skrev:
Trinity skrev:

Din avbildning x=it avbildar från xR till tC. Det är en helt annat integrationsintervall och du får inte 'Gauss integral'.

 Ja, det är rätt, men om du preciserar dig lite mer, varför är det så? Det går ju att göra ett variabelbyte x=3t, varför blir det då pannkaka om man gör det med x=it?

 Det går att göra ditt variabelbyte, det är inga problem, men gör om dina räkningar med ett ändligt interval, säg [0,u]. Efter din transformation har du intervallet [0,u/i]. I Riemannsumman är då en typisk term exp(-(u/i)^2)=exp(u^2) och när u går mot oändligheten går termerna mot oändligheten. Man kan säga att "dämpningen" av minustecknet i Gauss-funktionen motverkas av i^2=-1 och det blir en växande funktion istället för en avtagande. Integranden har alltså inget släktskap med Gauss-kurvan och därmed inte dess integral.

AlvinB 3181
Postad: 15 nov 2018 Redigerad: 15 nov 2018

Just det!

Felet i min uträkning är alltså när jag gör det komplexa variabelbytet. På den reella tallinjen finns det bara ett sätt att gå från en punkt till en annan (eller mot oändligheten) men i det komplexa talplanet kan man gå alla möjliga vägar mot oändligheten. Den övre gränsen kan alltså inte bara beskrivas som "oändligheten" utan man måste även beskriva vägen vi går mot oändligheten. I vårt fall blir det längs linjen Re(z)=Im(z)\text{Re}(z)=\text{Im}(z), och detta gör att integralen inte längre konvergerar (om man går längs den reella tallinjen gör minustecknet att integralen konvergerar, men inte med vår linje).

Svara Avbryt
Close