Fixpunktsmängder i en symmetrigrupp

Hej, 

Kan någon vänligen hjälpa mig så att jag tänker i rätt riktning? Uppskattar gärna om någon kan uppge vad metoden heter. 

Frågan lyder: 

Låt 15 vita kulor och 3 svarta kulor vara arrangerade längst en liksidig triangel så att varje kant (inklusive hörnen), består av sju kulor. Vi betecknar mängden av sådana arrangemang med X. Triangelns symmetrigrupp som består av sex element verkar på X. 

Jag behöver hjälp med att hitta antalet element i fixpunktsmängderna för vart av de sex elementen i symmetrigruppen. Totalt finns det $\left(\begin{array}{c}15\\ 3\end{array}\right)$ = 816 arrangemang med X och de verkar i triangels symmetrigrupp  R_0, R_120, R_240 och Reflektion_1, Reflektion_2 samt Reflektion_3. 

Tidigare när jag har stött på liknade frågor har $\left|X\right|$ bestått av ett liten tal vilket har gjort det lätt för mig att rita ner alla möjliga arrangemang och hitta fixpunkterna för hand. 

Vänligen,

Bourbaki.