(flerdim) Avgör för vilket värde på a som funktionen är kontinuerlig

Om du skriver uttrycket som en kvot istället borde det bli enklare att hantera. Att skriva om det med polära koordinater verkar vara en utomordentligt bra idé. Du bör kunna använda trigonometriska ettan på nämnaren när du har gjort om det till polära koordinater.

Behöver du mer hjälp, så visa hur långt du har kommit och fråga igen!

Du kan bryta ut r² från den första faktorn i definitionen.

Smaragdalena skrev:

Om du skriver uttrycket som en kvot istället borde det bli enklare att hantera. Att skriva om det med polära koordinater verkar vara en utomordentligt bra idé. Du bör kunna använda trigonometriska ettan på nämnaren när du har gjort om det till polära koordinater.

Behöver du mer hjälp, så visa hur långt du har kommit och fråga igen!

ursäkta det blev något fel när jag skrev mina uträknningar i latex. Nu har jag ändrat så det ser bättre ut men jag lyckas inte bryta ut alla r från täljaren :)

Fannywi skrev:

Smaragdalena skrev:

Om du skriver uttrycket som en kvot istället borde det bli enklare att hantera. Att skriva om det med polära koordinater verkar vara en utomordentligt bra idé. Du bör kunna använda trigonometriska ettan på nämnaren när du har gjort om det till polära koordinater.

Behöver du mer hjälp, så visa hur långt du har kommit och fråga igen!

ursäkta det blev något fel när jag skrev mina uträknningar i latex. Nu har jag ändrat så det ser bättre ut men jag lyckas inte bryta ut alla r från täljaren :)

Men det går att förkorta bort r².

Vad krävs för att (rd + c)r^2(1-a) skall gå mot noll då r går mot noll?

PATENTERAMERA skrev:

Vad krävs för att (rd + c)r^2(1-a) skall gå mot noll då r går mot noll?

Så jag får att funktionen kan förenklas till:

$r^{2-2a}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta )$ = $r^{2(1-a)}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta ))$

Lite osäker på hur jag ska välja a så att uttryck på den formen går mot noll. 

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Vad krävs för att (rd + c)r^2(1-a) skall gå mot noll då r går mot noll?

Så jag får att funktionen kan förenklas till:

$r^{2-2a}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta )$ = $r^{2(1-a)}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta ))$

Lite osäker på hur jag ska välja a så att uttryck på den formen går mot noll. 

Termen r(cos³(x)+sin³(x)) går mot 0 när x går mot 0.

Termen 5cos(x)sin(x) är åtminstone begränsad när x går mot 0.

Hela parentesen är alltså begränsad, där x går mot 0.

Om faktorn r^2-2a går mot 0 så går alltså hela uttrycket mot 0. För vilka värden på a går uttrycket r^2-2a mot 0?

Smaragdalena skrev:

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Vad krävs för att (rd + c)r^2(1-a) skall gå mot noll då r går mot noll?

Så jag får att funktionen kan förenklas till:

$r^{2-2a}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta )$ = $r^{2(1-a)}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta ))$

Lite osäker på hur jag ska välja a så att uttryck på den formen går mot noll. 

Termen r(cos³(x)+sin³(x)) går mot 0 när x går mot 0.

Termen 5cos(x)sin(x) är åtminstone begränsad när x går mot 0.

Hela parentesen är alltså begränsad, där x går mot 0.

Om faktorn r2-2a går mot 0 så går alltså hela uttrycket mot 0. För vilka värden på a går uttrycket r2-2a mot 0?

Är inte helt säker på vad du menar med att uttrycket inom parentesen är begränsad då x går mot noll? Alltså x som i vinkeln, eller menar du att uttrycket i parentesen går mot 0 då r går mot noll? 

Fannywi skrev:

Smaragdalena skrev:

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Vad krävs för att (rd + c)r^2(1-a) skall gå mot noll då r går mot noll?

Så jag får att funktionen kan förenklas till:

$r^{2-2a}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta )$ = $r^{2(1-a)}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta ))$

Lite osäker på hur jag ska välja a så att uttryck på den formen går mot noll. 

Termen r(cos³(x)+sin³(x)) går mot 0 när x går mot 0.

Termen 5cos(x)sin(x) är åtminstone begränsad när x går mot 0.

Hela parentesen är alltså begränsad, där x går mot 0.

Om faktorn r2-2a går mot 0 så går alltså hela uttrycket mot 0. För vilka värden på a går uttrycket r2-2a mot 0?

 

Är inte helt säker på vad du menar med att uttrycket inom parentesen är begränsad då x går mot noll? Alltså x som i vinkeln, eller menar du att uttrycket i parentesen går mot 0 då r går mot noll? 

Det var nog bara skrivfel. Tänk själv i stället.

För vilka värden q går r^q mot noll då r går mot noll, det borde stå i er lärobok.

PATENTERAMERA skrev:

Fannywi skrev:

Smaragdalena skrev:

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

Vad krävs för att (rd + c)r^2(1-a) skall gå mot noll då r går mot noll?

Så jag får att funktionen kan förenklas till:

$r^{2-2a}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta )$ = $r^{2(1-a)}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta ))$

Lite osäker på hur jag ska välja a så att uttryck på den formen går mot noll. 

Termen r(cos³(x)+sin³(x)) går mot 0 när x går mot 0.

Termen 5cos(x)sin(x) är åtminstone begränsad när x går mot 0.

Hela parentesen är alltså begränsad, där x går mot 0.

Om faktorn r2-2a går mot 0 så går alltså hela uttrycket mot 0. För vilka värden på a går uttrycket r2-2a mot 0?

 

Är inte helt säker på vad du menar med att uttrycket inom parentesen är begränsad då x går mot noll? Alltså x som i vinkeln, eller menar du att uttrycket i parentesen går mot 0 då r går mot noll? 

Det var nog bara skrivfel. Tänk själv i stället.

För vilka värden q går r^q mot noll då r går mot noll, det borde stå i er lärobok.

Okej så det borde vara för värden q > 0.  Alltså 2-2a > 0 som blir a < 1. 

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

Fannywi skrev:

Smaragdalena skrev:

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Vad krävs för att (rd + c)r^2(1-a) skall gå mot noll då r går mot noll?

Så jag får att funktionen kan förenklas till:

$r^{2-2a}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta )$ = $r^{2(1-a)}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta ))$

Lite osäker på hur jag ska välja a så att uttryck på den formen går mot noll. 

Termen r(cos³(x)+sin³(x)) går mot 0 när x går mot 0.

Termen 5cos(x)sin(x) är åtminstone begränsad när x går mot 0.

Hela parentesen är alltså begränsad, där x går mot 0.

Om faktorn r2-2a går mot 0 så går alltså hela uttrycket mot 0. För vilka värden på a går uttrycket r2-2a mot 0?

 

Är inte helt säker på vad du menar med att uttrycket inom parentesen är begränsad då x går mot noll? Alltså x som i vinkeln, eller menar du att uttrycket i parentesen går mot 0 då r går mot noll? 

Det var nog bara skrivfel. Tänk själv i stället.

För vilka värden q går r^q mot noll då r går mot noll, det borde stå i er lärobok.

Okej så det borde vara för värden q > 0.  Alltså 2-2a > 0 som blir a < 1.

Detta är således ett tillräckligt villkor för att uttrycket skall gå mot noll.

För ett fullständigt bevis borde man också övertyga sig om att detta är ett nödvändigt villkor.

Hur skulle man kunna göra det?

PATENTERAMERA skrev:

Fannywi skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Fannywi skrev:

Smaragdalena skrev:

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

Vad krävs för att (rd + c)r^2(1-a) skall gå mot noll då r går mot noll?

Så jag får att funktionen kan förenklas till:

$r^{2-2a}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta )$ = $r^{2(1-a)}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta ))$

Lite osäker på hur jag ska välja a så att uttryck på den formen går mot noll. 

Termen r(cos³(x)+sin³(x)) går mot 0 när x går mot 0.

Termen 5cos(x)sin(x) är åtminstone begränsad när x går mot 0.

Hela parentesen är alltså begränsad, där x går mot 0.

Om faktorn r2-2a går mot 0 så går alltså hela uttrycket mot 0. För vilka värden på a går uttrycket r2-2a mot 0?

 

Är inte helt säker på vad du menar med att uttrycket inom parentesen är begränsad då x går mot noll? Alltså x som i vinkeln, eller menar du att uttrycket i parentesen går mot 0 då r går mot noll? 

Det var nog bara skrivfel. Tänk själv i stället.

För vilka värden q går r^q mot noll då r går mot noll, det borde stå i er lärobok.

Okej så det borde vara för värden q > 0.  Alltså 2-2a > 0 som blir a < 1.

Detta är således ett tillräckligt villkor för att uttrycket skall gå mot noll.

För ett fullständigt bevis borde man också övertyga sig om att detta är ett nödvändigt villkor.

Hur skulle man kunna göra det?

Kanske med hjälp av instögningsregeln eller så?

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

Fannywi skrev:

Smaragdalena skrev:

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Vad krävs för att (rd + c)r^2(1-a) skall gå mot noll då r går mot noll?

Så jag får att funktionen kan förenklas till:

$r^{2-2a}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta )$ = $r^{2(1-a)}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta ))$

Lite osäker på hur jag ska välja a så att uttryck på den formen går mot noll. 

Termen r(cos³(x)+sin³(x)) går mot 0 när x går mot 0.

Termen 5cos(x)sin(x) är åtminstone begränsad när x går mot 0.

Hela parentesen är alltså begränsad, där x går mot 0.

Om faktorn r2-2a går mot 0 så går alltså hela uttrycket mot 0. För vilka värden på a går uttrycket r2-2a mot 0?

 

Är inte helt säker på vad du menar med att uttrycket inom parentesen är begränsad då x går mot noll? Alltså x som i vinkeln, eller menar du att uttrycket i parentesen går mot 0 då r går mot noll? 

Det var nog bara skrivfel. Tänk själv i stället.

För vilka värden q går r^q mot noll då r går mot noll, det borde stå i er lärobok.

Okej så det borde vara för värden q > 0.  Alltså 2-2a > 0 som blir a < 1.

Detta är således ett tillräckligt villkor för att uttrycket skall gå mot noll.

För ett fullständigt bevis borde man också övertyga sig om att detta är ett nödvändigt villkor.

Hur skulle man kunna göra det?

Kanske med hjälp av instögningsregeln eller så?

Que? Instögningsregeln?

Instängningsregeln. Kallas även regeln om de två polismännen.

Smaragdalena skrev:

Instängningsregeln. Kallas även regeln om de två polismännen.

OK försök med den, men jag hade tänkt mig något enklare.

Uttrycket måste speciellt gå mot noll för alla fixa värden på $\theta$. Vad händer om man väljer θ = - pi/4?

PATENTERAMERA skrev:

Fannywi skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Fannywi skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Fannywi skrev:

Smaragdalena skrev:

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

Vad krävs för att (rd + c)r^2(1-a) skall gå mot noll då r går mot noll?

Så jag får att funktionen kan förenklas till:

$r^{2-2a}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta )$ = $r^{2(1-a)}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta ))$

Lite osäker på hur jag ska välja a så att uttryck på den formen går mot noll. 

Termen r(cos³(x)+sin³(x)) går mot 0 när x går mot 0.

Termen 5cos(x)sin(x) är åtminstone begränsad när x går mot 0.

Hela parentesen är alltså begränsad, där x går mot 0.

Om faktorn r2-2a går mot 0 så går alltså hela uttrycket mot 0. För vilka värden på a går uttrycket r2-2a mot 0?

 

Är inte helt säker på vad du menar med att uttrycket inom parentesen är begränsad då x går mot noll? Alltså x som i vinkeln, eller menar du att uttrycket i parentesen går mot 0 då r går mot noll? 

Det var nog bara skrivfel. Tänk själv i stället.

För vilka värden q går r^q mot noll då r går mot noll, det borde stå i er lärobok.

Okej så det borde vara för värden q > 0.  Alltså 2-2a > 0 som blir a < 1.

Detta är således ett tillräckligt villkor för att uttrycket skall gå mot noll.

För ett fullständigt bevis borde man också övertyga sig om att detta är ett nödvändigt villkor.

Hur skulle man kunna göra det?

Kanske med hjälp av instögningsregeln eller så?

Que? Instögningsregeln?

Ett bättre "bevis" hade kanske varit att uppskatta gränsvärdet lite noggrannare tänker jag. 

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

Fannywi skrev:

Smaragdalena skrev:

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Vad krävs för att (rd + c)r^2(1-a) skall gå mot noll då r går mot noll?

Så jag får att funktionen kan förenklas till:

$r^{2-2a}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta )$ = $r^{2(1-a)}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta ))$

Lite osäker på hur jag ska välja a så att uttryck på den formen går mot noll. 

Termen r(cos³(x)+sin³(x)) går mot 0 när x går mot 0.

Termen 5cos(x)sin(x) är åtminstone begränsad när x går mot 0.

Hela parentesen är alltså begränsad, där x går mot 0.

Om faktorn r2-2a går mot 0 så går alltså hela uttrycket mot 0. För vilka värden på a går uttrycket r2-2a mot 0?

 

Är inte helt säker på vad du menar med att uttrycket inom parentesen är begränsad då x går mot noll? Alltså x som i vinkeln, eller menar du att uttrycket i parentesen går mot 0 då r går mot noll? 

Det var nog bara skrivfel. Tänk själv i stället.

För vilka värden q går r^q mot noll då r går mot noll, det borde stå i er lärobok.

Okej så det borde vara för värden q > 0.  Alltså 2-2a > 0 som blir a < 1.

Detta är således ett tillräckligt villkor för att uttrycket skall gå mot noll.

För ett fullständigt bevis borde man också övertyga sig om att detta är ett nödvändigt villkor.

Hur skulle man kunna göra det?

Kanske med hjälp av instögningsregeln eller så?

Que? Instögningsregeln?

Ett bättre "bevis" hade kanske varit att uppskatta gränsvärdet lite noggrannare tänker jag. 

Visa hur du tänker då.

Obs det jag föreslagit är ett rigoröst bevis, och inte ett ”bevis”.

Hur mäter man hur bra ett bevis är? Enkelhet?

Visa gärna ett enklare bevis.

Smaragdalena skrev:

Instängningsregeln. Kallas även regeln om de två polismännen.

OK jag är van vid termen ”squeeze theorem”.

PATENTERAMERA skrev:

Fannywi skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Fannywi skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Fannywi skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Fannywi skrev:

Smaragdalena skrev:

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

Vad krävs för att (rd + c)r^2(1-a) skall gå mot noll då r går mot noll?

Så jag får att funktionen kan förenklas till:

$r^{2-2a}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta )$ = $r^{2(1-a)}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta ))$

Lite osäker på hur jag ska välja a så att uttryck på den formen går mot noll. 

Termen r(cos³(x)+sin³(x)) går mot 0 när x går mot 0.

Termen 5cos(x)sin(x) är åtminstone begränsad när x går mot 0.

Hela parentesen är alltså begränsad, där x går mot 0.

Om faktorn r2-2a går mot 0 så går alltså hela uttrycket mot 0. För vilka värden på a går uttrycket r2-2a mot 0?

 

Är inte helt säker på vad du menar med att uttrycket inom parentesen är begränsad då x går mot noll? Alltså x som i vinkeln, eller menar du att uttrycket i parentesen går mot 0 då r går mot noll? 

Det var nog bara skrivfel. Tänk själv i stället.

För vilka värden q går r^q mot noll då r går mot noll, det borde stå i er lärobok.

Okej så det borde vara för värden q > 0.  Alltså 2-2a > 0 som blir a < 1.

Detta är således ett tillräckligt villkor för att uttrycket skall gå mot noll.

För ett fullständigt bevis borde man också övertyga sig om att detta är ett nödvändigt villkor.

Hur skulle man kunna göra det?

Kanske med hjälp av instögningsregeln eller så?

Que? Instögningsregeln?

Ett bättre "bevis" hade kanske varit att uppskatta gränsvärdet lite noggrannare tänker jag. 

Visa hur du tänker då.

Obs det jag föreslagit är ett rigoröst bevis, och inte ett ”bevis”.

Hur mäter man hur bra ett bevis är? Enkelhet?

Visa gärna ett enklare bevis.

Det med squeeze theorem var bara en gissning egentligen förstår att det kanske kan bli krångligt. Jag tänkte att för att se att r(cos^3(θ)+sin^3(θ))−5cos(θ)·sin(θ) blir begränsat när r --> 0 kan vi uppskatta -2<cos^3(θ)+sin^3(θ) <2 t.ex och -5<−5cos(θ)·sin(θ) <5. 

Sen för 2(1−a) har vi 3 alternativ:

1. 2(1−a) = 0, då får vi 1 gånger en begränsad funktion som beror på vinkeln θ. Alltså finns inget entydigt gränsvärde. t.ex för θ = -pi/4 får vi gränsvärdet 5/2. För θ = pi/4 får vi -5/2.

2. 2(1−a)  <0 då får vi 1/(r^b) för något b > 0 och då kommer gränsvärdet gå mot oändilgheten gånger ett begränsat uttryck = oändligheten .

3.  2(1−a)  > 0. då får vi (r^b) , b >0 och gränsvärdet går mot 0 gånger ett begränsat uttryck = 0.

Inte riktigt ett bevis men kanske ett tydligare resonemang 

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

Fannywi skrev:

Smaragdalena skrev:

Fannywi skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Vad krävs för att (rd + c)r^2(1-a) skall gå mot noll då r går mot noll?

Så jag får att funktionen kan förenklas till:

$r^{2-2a}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta )$ = $r^{2(1-a)}\left(r\right({\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta )-5\cos \theta ·\sin \theta ))$

Lite osäker på hur jag ska välja a så att uttryck på den formen går mot noll. 

Termen r(cos³(x)+sin³(x)) går mot 0 när x går mot 0.

Termen 5cos(x)sin(x) är åtminstone begränsad när x går mot 0.

Hela parentesen är alltså begränsad, där x går mot 0.

Om faktorn r2-2a går mot 0 så går alltså hela uttrycket mot 0. För vilka värden på a går uttrycket r2-2a mot 0?

 

Är inte helt säker på vad du menar med att uttrycket inom parentesen är begränsad då x går mot noll? Alltså x som i vinkeln, eller menar du att uttrycket i parentesen går mot 0 då r går mot noll? 

Det var nog bara skrivfel. Tänk själv i stället.

För vilka värden q går r^q mot noll då r går mot noll, det borde stå i er lärobok.

Okej så det borde vara för värden q > 0.  Alltså 2-2a > 0 som blir a < 1.

Detta är således ett tillräckligt villkor för att uttrycket skall gå mot noll.

För ett fullständigt bevis borde man också övertyga sig om att detta är ett nödvändigt villkor.

Hur skulle man kunna göra det?

Kanske med hjälp av instögningsregeln eller så?

Que? Instögningsregeln?

Ett bättre "bevis" hade kanske varit att uppskatta gränsvärdet lite noggrannare tänker jag. 

Visa hur du tänker då.

Obs det jag föreslagit är ett rigoröst bevis, och inte ett ”bevis”.

Hur mäter man hur bra ett bevis är? Enkelhet?

Visa gärna ett enklare bevis.

Det med squeeze theorem var bara en gissning egentligen förstår att det kanske kan bli krångligt. Jag tänkte att för att se att r(cos^3(θ)+sin^3(θ))−5cos(θ)·sin(θ) blir begränsat när r --> 0 kan vi uppskatta -2<cos^3(θ)+sin^3(θ) <2 t.ex och -5<−5cos(θ)·sin(θ) <5. 

Sen för 2(1−a) har vi 3 alternativ:

1. 2(1−a) = 0, då får vi 1 gånger en begränsad funktion som beror på vinkeln θ. Alltså finns inget entydigt gränsvärde. t.ex för θ = -pi/4 får vi gränsvärdet 5/2. För θ = pi/4 får vi -5/2.

2. 2(1−a)  <0 då får vi 1/(r^b) för något b > 0 och då kommer gränsvärdet gå mot oändilgheten gånger ett begränsat uttryck = oändligheten .

 

3.  2(1−a)  > 0. då får vi (r^b) , b >0 och gränsvärdet går mot 0 gånger ett begränsat uttryck = 0.

Inte riktigt ett bevis men kanske ett tydligare resonemang 

Det viktiga för mig var att vi började med argument 3 som bara garanterar att gränsvärdet i det ursprungliga tvåvariabel problemet är noll då a < 1.

Men från detta i sig kan vi inte direkt dra slutsatsen att om a är större än eller lika med ett så är gränsvärdet inte noll. För detta krävs ytterligare argument. I detta fall kanske det är tämligen självklart, men det är ju alltid bäst att fullständigt övertyga sig själv så att man inte står där med rumpan bar så att säga.

Ditt argument 2 är inte hundraprocent vattentätt; en begränsad funktion skulle kunna gå mot noll snabbare än den andra faktorn går mot oändligheten, men det är uppenbart i detta fall att så inte är fallet. Eller?

Det smarta var ju att inse att polära koordinater var en bra start, även om du var tvungen att avvika lite från den ursprungliga taktiken.

Hen Hao