7 svar
98 visningar
sexlaxarienslaksax är nöjd med hjälpen!
sexlaxarienslaksax 167
Postad: 9 aug 2018 Redigerad: 9 aug 2018

Flerdim | Bökigt gränsvärde

Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna det:

lim(x,y)(0,0)(1+x2+y2)1x2+y2+xy2 \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} (1+x^2+y^2)^{\frac{1}{x^2+y^2+xy^2}}

Jag har omvandlat till polära koordinater och fått:

(1+r2)1r2·(1+cosϕsin2ϕ) (1+r^2)^{ \frac{1}{r^2 \cdot (1+ \cos \phi \sin^2 \phi) } }

(1+11/r2)1r2·1(1+cosϕsin2ϕ) (1+\frac{1}{1/r^2})^{ \frac{1}{r^2} \cdot \frac{1}{(1+ \cos \phi \sin^2 \phi)} }

Vi har ett standardgränsvärde som blir eer0r \rightarrow 0 men jag vet inte hur jag ska göra med ϕ \phi . Jag måste väl använda absolutbelopp på något sätt samtidigt som jag gör gränsövergången till ee eller?

e11+cosϕsin2ϕ e^{\frac{1}{1+ \cos \phi \sin^2 \phi}}

Kan ni snälla hjälpa mig?

Albiki 2911
Postad: 9 aug 2018

Hej!

Du har skrivit exponenten 1/(x2+y2+xy2)1/(x^2+y^2+xy^2) men räknat som om den vore 1/(x2+y2+xy).1/(x^2+y^2+xy).

sexlaxarienslaksax 167
Postad: 9 aug 2018 Redigerad: 9 aug 2018
Albiki skrev:

Hej!

Du har skrivit exponenten 1/(x2+y2+xy2)1/(x^2+y^2+xy^2) men räknat som om den vore 1/(x2+y2+xy).1/(x^2+y^2+xy).

 Tack, jag får liknande svar med samma problem med ϕ\phi. Jag har rättat till misstaget ovan.

sexlaxarienslaksax 167
Postad: 11 aug 2018

Jag har fortfarande inte löst problemet. Någon annan som kan hjälpa?

AlvinB 1901
Postad: 11 aug 2018 Redigerad: 11 aug 2018

Du har slarvat när du gått över till polära koordinater. Det ska bli:

lim(x,y)(0,0)1+x2+y21x2+y2+xy2=limr01+r21r2+r3sin2θcosθ\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \left(1+x^2+y^2\right)^{\frac{1}{x^2+y^2+xy^2}}=\lim_{r \rightarrow 0} \left(1+r^2\right)^{\frac{1}{r^2+r^3\sin^2\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)}}

Om man bryter ut 1r2\frac{1}{r^2} i exponenten får man:

limr01+r21r211+rsin2θcosθ\lim_{r \rightarrow 0} \left(\left(1+r^2\right)^{\frac{1}{r^2}}\right)^{\frac{1}{1+r\sin^2\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)}}

Tänk nu. Vad går (1+r2)1r2(1+r^2)^{\frac{1}{r^2}} mot när r0r \rightarrow 0, och vad går 11+rsin2θcosθ\frac{1}{1+r\sin^2\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)} mot när r0r \rightarrow 0?

sexlaxarienslaksax 167
Postad: 14 aug 2018

e och 1?

AlvinB 1901
Postad: 14 aug 2018

Just det. Vad blir då gränsvärdet?

sexlaxarienslaksax 167
Postad: 14 aug 2018

Tack för hjälpen

Svara Avbryt
Close