8 svar
104 visningar
sexlaxarienslaksax är nöjd med hjälpen!
sexlaxarienslaksax 161
Postad: 10 aug 2018 Redigerad: 10 aug 2018

Flerdim | Gränsvärde

Bestäm gränsvärdet:

limx2+y2xye-(x+y)2 \lim_{x^2+y^2 \rightarrow \infty} xye^{-(x+y)^2}

xye-(x+y)2=xye-(x2+2xy+y2) xy e^{-(x+y)^2} = xye^{ -(x^2+2xy+y^2) }

r2cosϕsinϕer2(1+sin2ϕ) \frac{r^2 \cos \phi \sin \phi}{e^{r^2(1+\sin 2\phi) } }

r2sin2ϕ2·e(r2+r2sin2ϕ) \frac{r^2 \sin 2 \phi}{2 \cdot e^{(r^2+r^2 \sin 2\phi) } }

 

r2sin2ϕ2er2er2sin2ϕ \frac{r^2 \sin 2 \phi}{2 e^{r^2} e^{r^2 \sin 2 \phi}}

Jag vet inte hur jag ska fortsätta.

 

Kan ni hjälpa mig?

Guggle 1373
Postad: 10 aug 2018

I nämnaren kan du lösa ut ett r och få

12r2sin(2φ)e-r2(1+sin(2φ))\frac{1}{2}r^2\sin(2\varphi)e^{-r^2(1+\sin(2\varphi))}

Vad händer med  (1+sin(2φ))(1+\sin(2\varphi)) när φ=3π/4\varphi=3\pi/4 t.ex? Vad händer för andra värden?

Vad kan man dra för slutsats?

sexlaxarienslaksax 161
Postad: 10 aug 2018 Redigerad: 10 aug 2018

Tack för din kommentar.

Gränsvärdet saknas för olika ϕ\phi ger olika funktionsvärden.

 

Finns det andra sätt att lösa uppgiften på, utan att inse att gränsvärdet saknas om man provar för några värden på ϕ\phi?

I min bok tipsas det om absolutbelopp för att lösa liknande problem men jag förstår inte hur man bör göra i det här fallet då vi har en exponentialfunktion.

Guggle 1373
Postad: 10 aug 2018

Det speciella med φ=3π/4\varphi=3\pi/4 är alltså att parentesen blir 0, dvs uttrycket reduceras till f(r)=-1/2r2f(r)=-1/2r^2 vilket går mot det oegentliga gränsvärdet --\infty när r går mot \infty.

I övriga fall kan man visa att uttrycket går mot 0 mha instängning eftersom |sin(2φ)|1|\sin(2\varphi)|\leq 1 och exponentialfunktionen växer snabbare än varje potensfunktion. 

Albiki 2632
Postad: 10 aug 2018 Redigerad: 10 aug 2018

Hej!

Uttryckt i planpolära koordinater (r,θ)(r,\theta) är gränsvärdet lika med

    limr0,5r2e-r2(1+sin2θ)·sin2θ.\displaystyle\lim_{r\to\infty} 0,5r^2e^{-r^2(1+\sin 2\theta)}\cdot\sin 2\theta.

  • Vad blir gränsvärdet när 1+sin2θ1+\sin 2\theta är lika med noll?
  • Vad blir gränsvärdet när 1+sin2θ1+\sin 2\theta inte är lika med noll?
sexlaxarienslaksax 161
Postad: 10 aug 2018
Guggle skrev:

I övriga fall kan man visa att uttrycket går mot 0 mha instängning eftersom |sin(2φ)|1|\sin(2\varphi)|\leq 1 och exponentialfunktionen växer snabbare än varje potensfunktion. 

 Hur gör man det?

sexlaxarienslaksax 161
Postad: 11 aug 2018

Tack för hjälpen, jag tror att jag förstår hur man löser uppgiften.

Guggle 1373
Postad: 11 aug 2018
sexlaxarienslaksax skrev:
Guggle skrev:

I övriga fall kan man visa att uttrycket går mot 0 mha instängning eftersom |sin(2φ)|1|\sin(2\varphi)|\leq 1 och exponentialfunktionen växer snabbare än varje potensfunktion. 

 Hur gör man det?

 Vad du har visat är att gränsvärdet längs linjer där sin(2φ)=-1\sin(2\varphi)=-1 (dvs φ=3π/4+nπ,n\varphi=3\pi/4+n\pi,\, n\in\mathbb{Z}), inte existerar men kan sägas gå mot det oegentliga gränsvärdet --\infty samtidigt som varje annan linjerestriktion av f ger gränsvärdet 0 (ett påstående som följer av instängningsregeln för gränsvärden, eftersom f är en restriktion av en variabel gör du på precis samma sätt som du gjorde i envariabelnanalysen).

Om två envariabelfunkioner (restriktioner) går mot olika gränsvärden kan gränsvärdet av f inte existera.

sexlaxarienslaksax 161
Postad: 14 aug 2018

Tack för hjälpen

Svara Avbryt
Close