flervariabel, bevis för samband mellan riktningsderivata och gradient

Det är en del av ett bevis som jag inte förstår.

Satsen lyder: Om f är en differentierbar funktion och v en given riktning med |v| = 1 så är

f'v(a) = grad f(a) * v.

Bevis:

Sätt u(t) = f(a +tv). Denna funktion beskriver uppförandet av f på linjen x = a + tv. Vi ser att

$f' v = \lim_{t \to 0} \frac{u (t) - u (0)}{t} = u' (0) .$

men enligt kedjeregeln är

u'(t) = grad f(a +tv) *v, satsen följer alltså av att sätta t=0.

Det jag inte förstår är hur man har använt kedjeregeln här? Kedjeregeln är ju för sammansatta funktioner. Jag kan inte se hur u(t) skulle vara en sammansatt funktion?

$ϕ : ℝ \to ℝ^{3}, t \mapsto ϕ (t) = a + t v = (a_{x} + t v_{x}, a_{y} + t v_{y}, a_{z} + t v_{z})$

$f : ℝ^{3} \to ℝ, (x, y, z) \mapsto f (x, y, z)$

$u = f \circ ϕ$

Svara Avbryt