Flervariabel - Greens sats på oklar område
Detta är en gammal tentauppgift, så plottning är inte tillåtet. Jag har en undring angående 3C). Hur vet man hur området D ser ut givet parametriseringen av kurvan? Det finns några villkor som måste uppfyllas för att kunna använda Greens sats, vilket besvaras i 3B). En av dessa är, vad jag förstått, att området D som man applicerar greens sats på är reguljär och att kurvan C omger området D, dvs C är sluten. Men om det inte är klart hur området ser ut, hur ska jag kunna veta om området D är reguljär och om den är sluten? För övrigt verkar vektorfältet vara kontinuerligt deriverbar och kurvan likaså, då den är parametriserad med kontinuerligt deriverbara funktioner.
Jag är medveten om att jag endast har då kurvan som ledtråd, men jag kan inte få fram något vettigt från den. Ritar jag upp några punkter för , ser jag åtminstone att det inte är något linjestycke. Det faktum att vi arbetar med sin och cos får mig att misstänka att det borde vara något runt som bildar möjligtvis en cirkel centrerad i (0,1/2). Men jag är öförmögen att skriva om parametriseringen till en sådan cirkelform för att bevisa att så är fallet och därmed bestämma området D.
Micimacko skrev:
Right, jag tror jag fattar vad du gjort. Jag kunde endast komma fram till att , men visste inte vad jag skulle använda det till. Här visar du alltså att eftersom , då kan man substituera in detta i cirkelns ekvation s.a man får och med kvadratkomplettering kan man visa att det bildar en cirkel centrerad i med radie 1/2. Dock antar jag att kanske inte är så viktigt att visa då vi vet att och kan substitutera in det i ekvationen som gjordes ovan? Eller är det viktigt att visa det sambandet då cirkelns ekvation med godtycklig radie r har parametriseringen ?
Mellanstegen är inte så viktiga, det var mest ett försök att visa hur jag kom fram till vad jag skulle göra, genom att tänka att det såg ut som polära koordinater så borde leta efter något som ser ut ungefär såhär.
Micimacko skrev:Mellanstegen är inte så viktiga, det var mest ett försök att visa hur jag kom fram till vad jag skulle göra, genom att tänka att det såg ut som polära koordinater så borde leta efter något som ser ut ungefär såhär.
Så skulle detta samband vara valid att använda innan kvadratkompletteringssteget ?
Det är ju sant iaf, om det duger som motivering vågar jag inte svara på.
Micimacko skrev:Det är ju sant iaf, om det duger som motivering vågar jag inte svara på.
Det vet jag inte heller eftersom facit varit lite knapphändig med sitt svar:
De visade inte ens om området var sluten eller reguljär. Lite konstigt att de fokuserade på villkor rörande vektorfältet och randen men inte området. Fick mig att tro att kanske deras motivering implicerade att området var reguljär och slutet, men jag kan inte se hur utan att på något sätt visa formen av området.
Det står iofs i frågan att området är slutet. Vad menar du med att området är reguljärt? På något sätt som inte beror på raden?
Micimacko skrev:Det står iofs i frågan att området är slutet. Vad menar du med att området är reguljärt? På något sätt som inte beror på raden?
Jaha, jag hade missat helt den detaljen, att kurvan var sluten!! Av någon anledning såg jag inte den alls, så jag tänkte hela tiden att vi arbetade med en kurva där vi inte visste om den var sluten då det inte hade nämnts. Men det hade nämnts. Och med reguljär menade jag att området skulle vara antingen x-enkel eller y-enkel eller både och. Men jag måste anta att detta gäller om randen till området är sluten, så därför är området reguljär.
Men tack för hjälpen. Jag tror nog att jag fattar uppgiften nu och svaren.
