Flervariabelanalys, beräkna flöde av vektorfält

Uppgift: Beräkna flödet av vektorfältet F(x, y, z) = (2x, 3y, 4z) ut från ellipsoiden $9 x^{2} + 4 y^{2} + z^{2} = 36$ .
Min tanke är att jag ska använda Gauss sats. Jag får då integralen $\int \int \int_{K} 9 r^{2} \sin φ d r d θ d φ$ (byter till sfäriska koordinater eftersom det är en ellipsoid). Problemet är att jag inte vad jag ska sätta för integrationsgräns till r eftersom den är olika lång i x, y och z riktning. Ska man ta 0<r<6 eftersom r maximalt kan vara 6?

Nej, då räknar du ju på en sfär, inte en ellipsoid. Kan du skriva om kroppen så att den beror bara på en enda variabel?

Om du har ellipsoiden

(x/a)² + (y/b)² + (z/c)² = 1

så kan det vara lämpligt att införa nya variabler enligt

u = x/a

v = y/b

w = z/c.

I de nya variablerna blir ellipsoiden u² + v² + w² = 1, dvs enhetssfären.

Vidare har vi att $\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u, v, w)} = a b c$ .

Svara