Flervariabelanalys- derivering som blivit fel (Matematik/Universitet)

Det känns lite som att du säger att $\frac{x}{x^{2} + y^{2}} = x (x^{- 2} + y^{- 2})$ ?

Antingen gör du det (och då är det kanske den första biten att justera) eller så gör du något som jag inte hänger med på.

Om du vill ta fram

$(\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{matrix})$

för din funktion $f (x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}$

så borde du landa på något i stil med

$(\begin{matrix} \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} \\ - \frac{2 x y}{(x^{2} + y^{2})^{2}} \end{matrix})$

Verkar det begripligt?

Nej nu är jag inte helt med.. Vill du förklara lite mer ingående?

Vi tar det första först så jag förstår vad du gör.

Vad är det du gör på första raden i ditt block? Du har skrivit

$f (x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} (1, 2) = x (x^{- 2} + y^{- 2})$

Vad betyder det?

Jag föreställer mig att om du vill ta fram normalen så behöver du ta fram de partiella derivatorna, är det vad du försöker göra?

Om jag skulle teckna derivatan av din f med avseende på x så blir det två bitar eftersom jag skriver det som en produkt

$f (x, y) = x * (x^{2} + y^{2})^{- 1}$

sen deriverar jag den produkten med avseende på x och får först en term

$(x^{2} + y^{2})^{- 1}$

eftersom derivatan av x är 1, och sen en term

$- 1 * \frac{x * 2 x}{(x^{2} + y^{2})^{2}}$

där -1 är exponenten kommer från yttre derivatan av $(x^{2} + y^{2})^{- 1}$ och 2x kommer från den inre derivatan.

Hänger du med, eller är jag snett ute?

Ja, nu är jag med! Tack

;men deriveringen map y då? Den är jag inte heller med på..

Eller jo, den blir ju lika fast-1* x*2y där uppe? Eller?

Du var med på x?

För y har du en yttre derivata som är -1 från

$(x^{2} + y^{2})^{- 1}$

och sen har man en inre derivata som är 2y. Du har redan x i täljaren vilket gör att även om du försöker göra en produkt-derivering av $x (x^{2} + y^{2})^{- 1}$ så är $\frac{\partial x}{\partial y} = 0$ , så den termen försvinner (om du undrar varför det skiljer sig från partiella derivatan med avseende på x). Alltså har du bara en term för y. Den inre derivatan blir sen 2y, så du får 2yx istället för $2 x^{2}$ som du fick för x-termen.

Hänger du med nu?

Nej jag är inte med på det ..

Ok, säg till vilket steg du inte är med längre

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} (x * (x^{2} + y^{2})^{- 1})$
Den är bara ${y^{2}}^{}$ i andra faktorn ( $(x^{2} + y^{2})^{- 1}$ ) som har någon derivata med avseende på y
Yttre derivatan av $(x^{2} + y^{2})^{- 1}$ är -1
Inre derivatan av $(x^{2} + y^{2})^{- 1}$ är 2y
$x^{2}$ är en konstant med avseende på y, så dess derivata är 0.
$\frac{\partial}{\partial y} (x^{2} + y^{2})^{- 1} = - 1 * (x^{2} + y^{2})^{- 2} \frac{\partial (y^{2})}{\partial y}$
$\frac{\partial (y^{2})}{\partial y} = 2 y$
$\frac{\partial}{\partial y} (x^{2} + y^{2})^{- 1} = - 1 * (x^{2} + y^{2})^{- 2} \frac{\partial (y^{2})}{\partial y} = - 1 * (x^{2} + y^{2})^{- 2} * 2 y$
$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \frac{x}{x^{2} + y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} (x * (x^{2} + y^{2})^{- 1}) = x * (- 1) * (x^{2} + y^{2})^{- 2} * 2 y = - \frac{2 x y}{(x^{2} + {y^{2}}^{})^{2}}$

Nu blir jag lite osäker på vilken del du inte var med på -- om det var x eller y?

I steg 1 varför börjar du där med x^2 där uppe?

För att jag skrev fel. Förlåt mig. Det ska vara x i täljaren eftersom det är funktionen f.

Nu är ja med! Tack för en väldigt bra stegförsteg beskrivning!

PeBo skrev :
Vi tar det första först så jag förstår vad du gör.
Vad är det du gör på första raden i ditt block? Du har skrivit
$f (x, y) = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} (1, 2) = x (x^{- 2} + y^{- 2})$
Vad betyder det?
Jag föreställer mig att om du vill ta fram normalen så behöver du ta fram de partiella derivatorna, är det vad du försöker göra?
Om jag skulle teckna derivatan av din f med avseende på x så blir det två bitar eftersom jag skriver det som en produkt
$f (x, y) = x * (x^{2} + y^{2})^{- 1}$
sen deriverar jag den produkten med avseende på x och får först en term
$(x^{2} + y^{2})^{- 1}$
eftersom derivatan av x är 1, och sen en term
$- 1 * \frac{x * 2 x}{(x^{2} + y^{2})^{2}}$
där -1 är exponenten kommer från yttre derivatan av $(x^{2} + y^{2})^{- 1}$ och 2x kommer från den inre derivatan.
Hänger du med, eller är jag snett ute?

Nu när jag kollar i facit så får jag inte det att stämma med deriveringen map x. Ska det verkligen vara -1* (x*2x/(x^2+y^2)^2 ?

Det är nämligen så att jag fick en annan uppgift som bla innehöll samma tal. Där blir deriveringen map x i den delen (y^2- x^2)/ (x^2-Y^2)^2

Men, det är ju samma sak tycker jag (om jag förstår dig rätt). Jag hoppade det steget för att det skulle vara tydligare vad jag gjort, men tänk såhär. Du börjar med

$\frac{d}{d x} \frac{x}{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}$

Sen multiplicerar du den första termen med $1 = \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ för att få det på gemensamt bråkstreck, så

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{(x^{2} + y^{2})} \times \frac{1}{(x^{2} + y^{2})} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \frac{y^{2} - x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}$

Förstod jag rätt vart du ville komma då?

Men vart får du 1/(x^2+y^2) ifrån?

Jag hade för mig att det bara blev -2x^2 /(x^"+y^2)^2 ?

Det var som jag skrev förut... Du har en produkt av x och den där nämnaren.

PeBo skrev :
[...]
Om jag skulle teckna derivatan av din f med avseende på x så blir det två bitar eftersom jag skriver det som en produkt
$f (x, y) = x * (x^{2} + y^{2})^{- 1}$
sen deriverar jag den produkten med avseende på x och får först en term
$(x^{2} + y^{2})^{- 1}$
eftersom derivatan av x är 1, och sen en term
$- 1 * \frac{x * 2 x}{(x^{2} + y^{2})^{2}}$
där -1 är exponenten kommer från yttre derivatan av $(x^{2} + y^{2})^{- 1}$ och 2x kommer från den inre derivatan.
Hänger du med, eller är jag snett ute?

Så den första termen är derivatan av x i täljaren, multiplicerat med resten av uttrycket. Sen kommer den andra termen (som jag tror du fattat redan). Är det klarare?

Såklart! Tack