Flervariabelanalys Differentialekvationen

Det kluriga med transformationen är att uttrycka derivatorna i de nya variablerna. Detta kan man göra med hjälp av kedjeregeln för flera variabler:

$\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial r}\cdot\dfrac{\partial r}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial \theta}\cdot\dfrac{\partial \theta}{\partial x}$

För att klura ut derivatan av $r$ m.a.p. $x$ och $\theta$ m.a.p. $x$ är det nog enklast att använda implicit differentiering av ekvationerna:

$x=r\cos\theta$

$y=r\sin\theta$

Sedan repeterar man hela proceduren för att få fram $\frac{\partial f}{\partial y}$.

EDIT: Står det i uppgiften att du måste använda polära koordinater? Om det inte står det kan du få mycket mindre jobb genom att göra ett enklare koordinatbyte, t.ex.

Hur får man fram den partiella derivatan av vinkel med avseende på x och y?

Precis man skulle använda sig av polära koordinater

Deriverar man ekvationerna

$x=r\cos\theta$

$y=r\sin\theta$

m.a.p. $x$ får man:

$1=\dfrac{\partial r}{\partial x} \cdot \cos \theta-r\sin\theta \cdot \dfrac{\partial \theta}{\partial x}$

$0=\dfrac{\partial r}{\partial x} \cdot \sin \theta+r\cos\theta\cdot\dfrac{\partial \theta}{\partial x}$

Ur dessa samband kan man lösa ut $\frac{\partial \theta}{\partial x}$ och $\frac{\partial r}{\partial x}$ vilka sedan kan användas för att ta fram $\frac{\partial f}{\partial x}$.

På motsvarande sätt kan man göra för att få fram $\frac{\partial f}{\partial y}$.

Jag fattar!!

Ååå du är en ängel!! Tack så jääätte mycket!! 

Tinelina skrev: (PM)

Det andra var verkligen lättare. Men stötte på ett till problem när jag försökte med lösa med polära koordinater.

Vet inte riktigt hur jag kommer tillbaka till variablerna x och y härifrån 🤔

Får i slutet:

f'_@=0

f(r,@)=g(r)=g(x÷cos@,y÷sin@)

Just det, eftersom derivatan med avseende på $\theta$ är noll måste $f$ vara en funktion av enbart $r$.

För att uttrycka $r$ i kartesiska koordinater kan du använda sambandet:

$r^2=x^2+y^2$

Tack!!