5 svar
147 visningar
Freedom hold 88
Postad: 1 jun 2022 13:02

Flervariabelanalys, Flödesintegral

Jag får att med cylindriska:

 r(θ,z)=(cos(θ), sin(θ), z)rθ×rz=(cos(θ),sin(θ),0)F(r(θ,z))=(-sin(θ),cos(θ),z2)F·(rθ×rz)=0

Men flödet är ju inte 0. Så jag vet inte vad som är felet?

D4NIEL 2619
Postad: 1 jun 2022 13:53

Området är en uppochnedvänd kon med spetsen i origo. Jag förstår inte din parametrisering.

Parametrisera i rr och θ\theta istället.

x=rcos(θ)x=r\cos(\theta)

y=rsin(θ)y=r\sin(\theta)

z=?z=?

r(r,θ)=?\mathbf{r}(r,\theta)=?

Tänk på att välja normalen åt "rätt håll", det står "ned" genom ytan.

Freedom hold 88
Postad: 1 jun 2022 14:21
D4NIEL skrev:

Området är en uppochnedvänd kon med spetsen i origo. Jag förstår inte din parametrisering.

Parametrisera i rr och θ\theta istället.

x=rcos(θ)x=r\cos(\theta)

y=rsin(θ)y=r\sin(\theta)

z=?z=?

r(r,θ)=?\mathbf{r}(r,\theta)=?

Tänk på att välja normalen åt "rätt håll", det står "ned" genom ytan.

Hmm okej jag tror jag fattar vad du menar. med parametrisering

 r(r,θ)=(r·cos(θ),r·sin(θ),r)rr=(cos(θ),sin(θ),1)rθ=(-r·sin(θ),r·cos(θ),0)rr×rθ=(-r·cos(θ),r·sin(θ),r)F(r(r,θ))=(-r·sin(θ),r·cos(θ),r)F·(rr×rθ)=r201r3dr=1402πdθ=2πFlödet=π2 uppåt=-π2 Nedåt

Dock återstår frågan varför man inte kan göra som jag gjorde intitial. Parametriseringen r(θ,z)funkar ju med cylinderytor. Varför fungerar det inte med konytor? Är det för att med koniska ytor så varierar r men med cylinderytor hålls radien konstant?

D4NIEL 2619
Postad: 1 jun 2022 14:51 Redigerad: 1 jun 2022 14:59

Ja, i cylindriska koordinater kan du antingen hålla r,θr,\theta eller zz konstant för att låta de andra två koordinaterna vara parametrar för att beskriva en yta. Det ger dig tre möjliga ytor, mantelytan till cylindern då rr hålls konstant,  cirkelskivor (t.ex. tak och golv på cylindern) då zz hålls konstant samt utskurna skivor (plan), då θ\theta hålls konstant.

För att beskriva en kon behöver du på något sätt ta hänsyn till att z=z(r)z=z(r) eller r=r(z)r=r(z)

Förövrigt verkar du ha slarvat lite, F·(rr×rθ)=r3F\cdot (r_r\times r_\theta)=r^3

Du får ända rätt svar eftersom du multiplicerar med rr, vilket jag tror du gör för att du tänker att du byter till polära koordinater.

Men normeringen är alltid korrekt när du bildar kryssprodukten för parameterframställningen. Du ska alltså INTE multiplicera med ett extra rr i den sista integralen, det har kryssprodukten av tangentbasen rr×rθ\mathbf{r}_r\times \mathbf{r}_\theta redan fixat åt dig.

Freedom hold 88
Postad: 1 jun 2022 15:13 Redigerad: 1 jun 2022 15:14
D4NIEL skrev:

Ja, i cylindriska koordinater kan du antingen hålla r,θr,\theta eller zz konstant för att låta de andra två koordinaterna vara parametrar för att beskriva en yta. Det ger dig tre möjliga ytor, mantelytan till cylindern då rr hålls konstant,  cirkelskivor (t.ex. tak och golv på cylindern) då zz hålls konstant samt utskurna skivor (plan), då θ\theta hålls konstant.

För att beskriva en kon behöver du på något sätt ta hänsyn till att z=z(r)z=z(r) eller r=r(z)r=r(z)

Förövrigt verkar du ha slarvat lite, F·(rr×rθ)=r3F\cdot (r_r\times r_\theta)=r^3

Du får ända rätt svar eftersom du multiplicerar med rr, vilket jag tror du gör för att du tänker att du byter till polära koordinater.

Men normeringen är alltid korrekt när du bildar kryssprodukten för parameterframställningen. Du ska alltså INTE multiplicera med ett extra rr i den sista integralen, det har kryssprodukten av tangentbasen rr×rθ\mathbf{r}_r\times \mathbf{r}_\theta redan fixat åt dig.

Ah tack.

Dock verkar det inte gälla ifall man räknat ut integranden i (x,y) och sen överför till polära precis innan man börjar integrera om du förstår vad jag menar. Då verkar det som att man behöver lägga till skalfaktor r.

Till exempel:

 r(x,y)=(x,y,1-x2-y2)rx×ry=(2x,2y,1)F(r(x,y))=(x+y, y, 2xy-x2-y2)F(r(x,y))·(rx×ry)=x2+y2+4xy+4Polära: r2+4(r2·cos(θ)·sin(θ))+4(r2+4(r2·cos(θ)·sin(θ))+4) rdrdθ

D4NIEL 2619
Postad: 1 jun 2022 15:22 Redigerad: 1 jun 2022 15:25

Det är korrekt, orsaken är att din första parametrisering sker i parametrarna (x,y).

r(x,y)=(x,y,f(x,y))\mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y))

Din kryssprodukt känner ju då inte till att du tänker göra ytterligare en parametrisering, nämligen ett senare byte till polära koordinater

Om du vill kan du fixa till båda parametriseringarna samtidigt, så här:

r(r,θ)=(rcos(θ),rsin(θ),1-r2)\mathbf{r}(r,\theta)=(r\cos(\theta), r\sin(\theta), 1-r^2)

Då behöver du inte multiplicera med r, normeringen ingår i rr'×rθ'\mathbf{r}^\prime_r\times \mathbf{r}^\prime_\theta

Svara Avbryt
Close