Flervariabelanalys: jacobimatrisen är en funktion?

Personligen skulle jag säga att jacobimatrisen för en funktion $\mathbf{f}=(f_1,\ldots,f_n)\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ är en funktion $J_{\mathbf{f}}\colon \mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n\times m}$, där det för varje punkt $\mathbf{a}\in\mathbb{R}^m$ gäller att

$\,{J_\mathbf{f}(\mathbf{a})}=\begin{pmatrix}\tfrac{\partial f_1}{\partial x_1}{(\mathbf{a})}&\cdots & \tfrac{\partial f_1}{\partial x_m}{(\mathbf{a})}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \tfrac{\partial f_n}{\partial x_1}{(\mathbf{a})} & \cdots & \tfrac{\partial f_n}{\partial x_m}{(\mathbf{a})}\end{pmatrix}\,.$

Om funktionen $\mathbf{f}$ är tillräckligt slät och $\mathbf{h}\in\mathbb{R}^m$ är ett litet steg i någon riktning, så kommer det då gälla att

$\mathbf{f}(\mathbf{a}+\mathbf{h})\approx \mathbf{f}(\mathbf{a})+J_\mathbf{f}(\mathbf{a})\,\mathbf{h}\,,$

om vi tänker oss $\mathbf{a}$ och $\mathbf{h}$ som kolonnvektorer.

Men, visst, man kan även jobba med radvektorer om vi transponerar allt, och då blir jacobimatrisen mycket riktigt en funktion av typen $\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^{n\times m}$.

Varför till Rmxn? Tänker att det vanligaste är typ att n är 1, men matrisen brukar vara större än så?

Ja jag tänkte kolonnvektorer, det verkar vara standard också så jag skrev lite fel. 

Micimscko: vadå? "Vanligaste" vet jag inte, det är bara en generalisering av derivatan till vektorvärda funktioner av flera variabler

Alltså jag menar att jag bara har stött på att man använder den på funktioner från Rn --> R, vet inte ens hur jag skulle börja om det var på ngt annat sätt.. Så det är väl vanligast iaf i de första böckerna i flervariabel, sen efter det vet man aldrig. ;)

Men om vi håller oss till sånna snälla funktioner så blir väl matrisen ändå nxn, inte en rad/kolonn? Eller blandar jag ihop funktion med variabelbyte nu?

Ja, du tänker förmodligen på funktionaldeterminanten Micimacko. Det är ju en funktionalmatris för ett koordinatbyte som man beräknar determinanten av.