Flervariabelanalys: Kedjeregeln, vilket rum till vilket rum?

u: $\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$.

g: $\mathrm{ℝ}\to {\mathrm{ℝ}}^2$, t $\mapsto$ (cost, sint).

u = f$\circ$g.

typ så?

Och h?

h: ${\mathrm{ℝ}}^3\to \mathrm{ℝ}$.

g: ${\mathrm{ℝ}}^3\to {\mathrm{ℝ}}^2$, (x, y, z) $\mapsto$ (x/y, y/z).

h = f$\circ$g.

Såhär?

OK, g:s definitionsmängd blir inte hela ${\mathrm{ℝ}}^3$.

PATENTERAMERA skrev:

OK, g:s definitionsmängd blir inte hela ${\mathrm{ℝ}}^3$.

jaaa...? Men man skriver väl ändå ${\mathrm{ℝ}}^3\to {\mathrm{ℝ}}^2$? Eller liksom $D\subseteq {\mathrm{ℝ}}^3, D\to {\mathrm{ℝ}}^2$?

Ja.

g: D $\to$ ${\mathrm{ℝ}}^2$, (x, y, z) $\mapsto$ (x/y, y/z), där D = $\{$(x, y, z) $\in$ ${\mathrm{ℝ}}^3$: y, z > 0$\}$.

Kan man ändå skriva ${\mathrm{ℝ}}^3\to {\mathrm{ℝ}}^2$ om man bara vill förmedla att alla element i def-mängden är i R3 och att alla element i värdemängden är i R2?

Nja. Så vitt jag vet finns det ingen bra terminologi för funktioner på formen $f:U\to\mathbb{R}^m$, där $U\subseteq\mathbb{R}^n$. Ibland säger jag att en sådan funktion är "av typen $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$", men det är ingen standardformulering, och kan lätt misstolkas som att man menar att definitionsmängden verkligen är hela $\mathbb{R}^n$.