flervariabelanalys - Lagrange?

flippainte skrev:

Hur blir x=y=z när lamba=1? Har kommit så långt att jag vet att lamba är 1 (ett fall) men vet inte hur jag ska fortsätta. Vet inte hur de fick -1/2 heller..

Om lamba=1 så blir ekvationssystemet:

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{c}y+z=2\lambda x\\ z+x=2\lambda y\\ x+y=2\lambda z\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}y+z=2x\\ z+x=2y\\ x+y=2z\end{array}\iff \{\begin{array}{c}-2x+y+z=0\\ x-2y+z=0\\ x+y-2z=0\end{array}\iff \\ \left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ 1& -2& 1\\ 1& 1& -2\end{array}\right)*\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right) \end{gathered}$$

Gaussa på och du lär hitta att x=y=z.

Om x+y+z=0 så är

$z=-x-y$

och vi får

$\{\begin{array}{c}y+z=2\lambda x\\ z+x=2\lambda y\\ x+y=2\lambda z\end{array}=\{\begin{array}{c}y-x-y=2\lambda x\\ -x-y+x=2\lambda y\\ x+y=2\lambda (-x-y)\end{array}\iff \{\begin{array}{c}-x=2\lambda x\\ -y=2\lambda y\\ x+y=-2\lambda (x+y)\end{array}$

(den tredje ekvationen är här summan av den första och den andra, förlängt med -1 i båda leden, så den tillför inget)

Skall det stämma måste antingen, som de skriver x och y vara 0

$\{\begin{array}{c}-x=2\lambda x\\ -y=2\lambda y\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}-0=2\lambda 0\\ -0=2\lambda 0\end{array}$

eller lambda vara -0,5

$\{\begin{array}{c}-x=2\lambda x\\ -y=2\lambda y\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}-x=2\frac{-1}{2}x\\ -y=2\frac{-1}{2}y\end{array}\iff \{\begin{array}{c}-x=-x\\ -y=-y\end{array}$