Flervariabelanalys, minsta avstånd till origo
Hej! Jag behöver hjälp med både a och b, jag förstår inte hur jag ska börja eller tänka. Min plan är ju att göra en funktion av avståndet mellan origo och 1-x^2 och hitta minsta värdet så men varför kan man göra det med parametrisering? Är inte avståndet roten ur sqrt(x2+ (1-x)2 )?
dessutom hur visar jag att det finns ett minsta avstånd, funktionen kommer vara kontinuerlig men den är väl inte definierat för ett slutet område?
Avståndet blir väl d(x) = sqrt(x2 + (1-x2)2)? Så det är väl bara att utnyttja det på a).
Hur skulle du ta fram max och min till funktionen d(x) om den bara var given rakt upp och ner?
För att visa att det finns ett minsta avstånd kan du göra en kompakt avskärmning istället för att titta på kurvan över oändligheten.
Då har du handlar ditt problem istället om att finna ett minsta värde för avståndsfunktionen på en kompakt mängd varvid existensen av ett sådant värde är garanterad (se avsnitt om optimering på kompakta mängder i läroboken!)
PATENTERAMERA skrev:Avståndet blir väl d(x) = sqrt(x2 + (1-x2)2)? Så det är väl bara att utnyttja det på a).
Hur skulle du ta fram max och min till funktionen d(x) om den bara var given rakt upp och ner?
Vad menar du med sista frågan? Jag skulle derivera och hitta kandidatpunkter och undersöka funktionsvärdena, men jag tänker innan jag gör det måste jag argumentera att det existerar. Så det blir en envariabel funktion jag bara ska undersöka extrempunkter på?
Låt oss ta ett enkelt exempel.
f(x) = x2. Hitta eventuella max och min på R.
Låt oss anta att vi inte genast inser svaret utan vill använda derivata för att hitta svaret.
f’(x) = 2x.
f’’(x) = 2.
Derivatan har nollställe i x = 0. Positiv andraderivata. Således har vi lokalt min i x = 0.
Hur kan vi veta om detta är ett globalt min?
Vi kan i och för sig titta på funktionen och se att f(a) > f(0) för alla a skilda från 0.
Vi kan även använda derivata.
Medelvärdessatsen säger att det finns ett b mellan 0 och a sådant att f(a) - f(0) = f’(b)a.
Högerledet (HL) är alltid större än noll. Om a är större än noll så är f’(b) större än noll, så HL är större än noll. Om a är mindre än noll så är f’(b) mindre än noll, så HL blir större än noll.
Således är f(a) > f(0) för alla a skilda från 0, så vi har ett globalt min då x = 0.
Jag vet inte riktigt hur D4NIEL tänker med kompakt avskärmning. Om vi tex begränsar f(x) till ett slutet intervall mellan -1 och 1 så har f(x) både max och min i detta intervall. Men på hela R så har f(x) varken lokala eller globala max. Så det krävs uppenbarligen ytterligare argumentation, vilken jag inte direkt ser hur den skulle se ut.
Så att använda derivata och teckenstudium (som vanligt) är i alla fall en framkomlig väg för att visa på eventuella max och min för avståndsfunktionen d(x).
Ja, det var mina två cent.
PATENTERAMERA skrev:Låt oss ta ett enkelt exempel.
f(x) = x2. Hitta eventuella max och min på R.
Låt oss anta att vi inte genast inser svaret utan vill använda derivata för att hitta svaret.
f’(x) = 2x.
f’’(x) = 2.
Derivatan har nollställe i x = 0. Positiv andraderivata. Således har vi lokalt min i x = 0.
Hur kan vi veta om detta är ett globalt min?
Vi kan i och för sig titta på funktionen och se att f(a) > f(0) för alla a skilda från 0.
Vi kan även använda derivata.
Medelvärdessatsen säger att det finns ett b mellan 0 och a sådant att f(a) - f(0) = f’(b)a.
Högerledet (HL) är alltid större än noll. Om a är större än noll så är f’(b) större än noll, så HL är större än noll. Om a är mindre än noll så är f’(b) mindre än noll, så HL blir större än noll.
Således är f(a) > f(0) för alla a skilda från 0, så vi har ett globalt min då x = 0.
Jag vet inte riktigt hur D4NIEL tänker med kompakt avskärmning. Om vi tex begränsar f(x) till ett slutet intervall mellan -1 och 1 så har f(x) både max och min i detta intervall. Men på hela R så har f(x) varken lokala eller globala max. Så det krävs uppenbarligen ytterligare argumentation, vilken jag inte direkt ser hur den skulle se ut.
Så att använda derivata och teckenstudium (som vanligt) är i alla fall en framkomlig väg för att visa på eventuella max och min för avståndsfunktionen d(x).
Ja, det var mina två cent.
Jaha okej, då förstår jag ! Men hur anpassar jag lagrange metod till detta problem? Ser inget samband mellan problemet och metoden, känner att jag behöver en geometrisk förklaring varför den metoden skulle vara optimal.
Enklast är kanske att minimera avståndet i kvadrat d2.
d2 = x2 + y2.
Med bivillkoret
y - (1 - x2) = 0.
L(x, y, t) = x2 + y2 + t(y - (1 - x2)).
PATENTERAMERA skrev:Enklast är kanske att minimera avståndet i kvadrat d2.
d2 = x2 + y2.
Med bivillkoret
y - (1 - x2) = 0.
L(x, y, t) = x2 + y2 + t(y - (1 - x2)).
Hmmm okej, är det alltid så att man använder d2 = x2 + y2 när det gäller avstånd till origo?
Om du har en punkt (x, y) så är dess avstånd till origo d = sqrt(x2 + y2) så avståndet i kvadrat blir d2 = x2 + y2. Använd Pytagoras.
Med en godtycklig cirkulär avskärmning (cirkel med centrum i origo) ligger alla punkter utanför avskärmningen på ett längre avstånd än avskärmningens radie från origo. Man behöver inte vara särskilt exakt i valet av radie. Vi väljer godtyckligt
Bivillkoret definierar tillsammans med avskärmningen en kompakt mängd varför existensen av minsta värde för avståndsfunktionen är klar. Vi anser det självklart att punkter utanför avskärmningen ligger på ett än större avstånd och saknar betydelse för problemet.
