Flervariabelanalys : undersöka randpunkter av en tetraeder
Hej! Jag förstår inte riktigt hur jag ska lösa följande uppgift :
Bestäm det största och det minsta värdet som funktionerna antar i det angivna området.
a) f(x,y,z)=xyz+xy i tetraedern med hörn i (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0) och (0,0,2).
Min skiss av området i fråga:
Eftersom att funktionen f är kontinuerlig och kompakt så har jag dragit slutsatsen att största/minsta värde existerar. Jag började med att undersöka samtliga stationära punkter (där gradienten av f är 0 ) och fick då :
Som uppfylls av x = 0, y = 0, z = -1 , z = 0 och då punkterna (0,0,0) samt (0,0,-1)
Vidare ser jag att gradienten är definierad för alla x,y,z i området och att det inte finns några singulära punkter att undersöka.
Nästa steg är att undersöka randpunkterna och här lyckas jag inte riktigt med mina uträkningar. Jag ser att det blir 4 plan A-D som avgränsar mängden, men förstår inte riktigt hur jag ska gå vidare....
Tacksam för alla tips!
Vilken fin bild du har ritat :)
Det finns alltså fyra trianglar att undersöka (tre är synliga i din bild, den fjärde är under).
Skriv planernas ekvation som z=z(x,y) sedan stoppa in z(x,y) i f där z förekommer, sedan kan du behandla f som en funktion av endast två variabler. Du ska sen undersöka f:s extrema på den aktuella triangelns projektion på xy-planet, dvs de tre du ritat i bilden.
Makes sense?
Hmm, vet inte riktigt om jag förstår. Hur menar du att jag ska skriva planernas ekvation som z=z(x,y)?
Om man tar triangel A i bilden som exempel; där z = 0. Då får man f (x, y, 0) = xy = g(x,y) som är en funktion av två variabler. Är det något sånt du menar? Kan jag vidare då undersöka g'x och g'y för att hitta ev. extrempunkter?
Jaha jaha, det behöver inte vara lika svårt som jag skrev. Och jag såg fel på din bild.
Triangel B A och D är parallella med ett av koordinatplanen, de är enkla att undersöka. Sätt den aktuella koordinaten till noll, dvs undersök tex f(x, 0, z) på triangeln D.
C är lite svårare, där får du göra som jag sa. Asså ta fram planets ekvation, stoppa in den i f, hitta nollställen på på xy planet på triangeln A (triangeln C:s projektion på xy planet).
Tack!! :D Nu ser jag det. Med planets ekvation för C kan jag lösa ut z och sätta in i f och då få en ny ekvation med x,y att undersöka
Yes, yes. Bra att du sa till när det var oklart!
