Flervariabelkalkyl - Green's theorem

Nu har inte jag gått igenom dina uträkningar, men i väntan på att någon med bättre kunskap än mig kan titta på det så tipsar jag om två vanliga källor till teckenfel:

- Att man råkat flippa riktningen på något fält, eller t.ex. av misstag tagit fram normalvektorer som pekar inåt istället för utåt

- Att man råkat beräkna en integral med gränserna åt fel håll, alltså integrerat från b till a istället för från a till b

Hoppas det hjälper, men annars så är det säkert någon som kommer med mer träffsäkra svar snart

Du har räknat ut integralen längs cirkelbågen  från (1,0) till (-1,0) men vilken cirkulationsriktning angavs i uppgiften?

Vidare har du inte visat att linjeintegralen utmed det  räta linjesegmentet från (1,0) till (-1,0) (då y=0) ger 0.

Tvärtom, så då blir integralen negativ istället?

Förstår inte riktigt vad du menar?

Ja, för att få rätt tecken i Greens formel går man runt så att området hela tiden ligger till vänster om färdriktningen. Precis som du ritat i din skiss. (Förstärkt med blått och rött).

Greens Formel i planet:

$\displaystyle \int_{\gamma_1}\,P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+\int_{\gamma_2}\,P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\iint_{\Omega}\,\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

I frågeställningen vill de dock veta linjeintegralen utmed den blå delen av kurvan i motsatt riktning. Vi löser ut integralen över $\gamma_1$ med motsatt tecken:

$\displaystyle -\int_{\gamma_1}\,P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_{\gamma_2}\,P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y-\iint_{\Omega}\,\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Nu förstår vi varför tecknet blir som det blir.

Slutligen verkar du också strunta i linjestycket ($\gamma_2$  markerat med rött). I uppgiften är de bara intresserade av den blå kurvan. 

Nu råkar linjeintegralen utmed $\gamma_2$ bli 0 i just den här uppgiften, men du behöver egentligen visa att det är så.

Okej tack! Men när man ska parametrisera det andra linjestycket förstår jag inte riktigt hur de har gjort parametriseringen så att r(t)=(t,0)      $-1\le t\le 1$

De följer bara x-axeln, så x-koordinaten är x (som döpts om till t) och y är 0, för kurvan har den höjden hela tiden. Och de x-värden vi är intresserade av är de från -1 till 1

Jaha okej tack!