Flervariabelproblem: bestämma största/minsta värde på en obegränsad mängs

Det behöver inte betyda att det inte finns ett minsta eller största värde.

Tex funktionen g(x, y) = $e^{-\left(x^2+y^2\right)}$ med ${\mathrm{ℝ}}^2$ som definitionsmängd har ett största värde men inget minsta värde.

Du kan ju notera att man kan få ett godtyckligt stort värde på funktionen genom att närma sig origo längs linjen y = x. Så det finns inget största värde.

Vidare så ser vi att f(x, y) är större än noll i hela området, så det finns en undre begränsning. Frågan är dock om det finns ett minsta värde. Jag skulle kolla om det går att få ett funktionsvärde godtyckligt nära noll i området. I så fall så finns det inget minsta värde, men noll är infimum till värdemängden.

Okej så på så sätt vi vi att det inte finns något största värde. Men när det kommer till ett minsta värde får jag problem. Jag har försökt med metoder som att göra om till polära koordinater och att försöka hitta någon kritisk punkt men inget av det leder någonstans. Har du något bra tips på hur man hittar ett sådant funktionsvärde godtyckligt nära noll??

Derivera och sätt derivatorna lika med noll.

hejhopp1 skrev:

Okej så på så sätt vi vi att det inte finns något största värde. Men när det kommer till ett minsta värde får jag problem. Jag har försökt med metoder som att göra om till polära koordinater och att försöka hitta någon kritisk punkt men inget av det leder någonstans. Har du något bra tips på hur man hittar ett sådant funktionsvärde godtyckligt nära noll??

Jag tänker så här.

Välj ett värde på x och låt y gå mot noll.

$\underset{y\to 0^{+}}{\lim }f\left(x, y\right)=\frac{1}{x}$.

Det betyder att det går att finna funktionsvärden godtyckligt nära 1/x. Men jag kan ju välja x godtyckligt stort och därmed kan 1/x vara godtyckligt nära noll. Således kan vi hitta funktionsvärden godtyckligt nära ett värde som är godtyckligt nära noll. Så vi kan hitta ett funktionsvärde som ligger godtyckligt nära noll. Ja, det går att göra argumentationen mer stringent, men du fattar säkert principen.

Okej jag tror jag hänger med, tack!

Jag testade även att göra som @Laguna sa, att derivera och då får jag fram en punkt där derivatorna är 0 och x=y=$\frac{1}{2^{2/3}}$. 
 Betyder det att f($\frac{1}{2^{2/3}}, \frac{1}{2^{2/3}}$) potensiellt då är funktionens minsta värde? Går det lika bra att argumentera utifrån det?

Jag tror att resonemanget med lim f(x,y) = 1/x faller på att om man sedan väljer x godtyckligt stort så kan man inte försumma termen xy längre.

Tillägg: 2 feb 2022 22:56

Jag tror jag ändrar mig. Limes-resonemanget är tveksamt, men jag tror slutsatsen är korrekt.

Kan någon plotta den här funktionen?

Nja, så är det nog inte. Oavsett vilket värde på x jag väljer. Så gäller det ändock att

$\underset{y\to 0^{+}}{\lim }xy=0$.

Men uppgiften går ju ändå ut på att om det finns ett minsta värde så ska man bestämma det, hur bestämmer man ett minsta värde utifrån limes resonemamget?

Det finns inget. Vi kan komma godtyckligt nära noll, men inte uppnå det.

Så svaret är ändå att minsta och största värde inte existerar? Utifrån argumenten ovan?

Betyder det att punkten jag hitta där derivatorna är noll också är någon slags sadelpunkt?

Ja, så är det nog.

hejhopp1 skrev:

Så svaret är ändå att minsta och största värde inte existerar? Utifrån argumenten ovan?

Men man kan argumentera mer strikt. Visa att det för varje a > 0 går att finna x, y > 0 sådana att f(x, y) < a.

Börja med att välja x sådant att x > 1/a. Då är 1/x < a. Sätt $ϵ$ = a - 1/x.

Vi kan då finna ett y > 0 sådant att |f(x, y) - 1/x| < $ϵ$, eftersom $\underset{y\to 0^{+}}{\lim }f\left(x,y\right)=\frac{1}{x}$. Det betyder att

f(x, y) - 1/x $\le$ |f(x, y) - 1/x| < a - 1/x, vilket implicerar att f(x, y) < a.

hejhopp1 skrev:

Betyder det att punkten jag hitta där derivatorna är noll också är någon slags sadelpunkt?

Det blir nog en sadelpunkt som du säger. Om vi betraktar funktionen endast på linjen y = x så finns det ett minvärde. Om vi istället betraktar funktionen endast på linjer av typen x + y = c (som är vinkelräta mot linjen y = x) så kommer det finnas ett maxvärde då x = y = c/2.

En observation man kan göra är att den här funktionen kan utsträckas till x = 0 och y = 0 (utom origo), och att den då har värdet 1/y på y-axeln. 1/x kan göras godtyckligt litet, alltså uppnå varje epsilon > 0, och eftersom funktionen är kontinuerlig så kan man komma godtyckligt nära epsilon inne i området.

Men detta behöver formuleras mera stringent, och då blir det det vi har sett tidigare.

Tillägg: 4 feb 2022 08:28

"1/y kan göras godtyckligt litet" ska det stå.

Man kan även visa det på följande sätt.

Välj en godtycklig punkt (x0, y0) i området. Vi kan då visa att det alltid finns en punkt (x1, y1) i området sådan att f(x1, y1) < f(x0, y0). Dvs det finns ingent minimum.

Låt oss beränsa oss till punkter som ligger på linjen x + y = x0 + y0 = c. Dvs punkter (x, y(x)) som uppfyller y(x) = x0 + y0 - x, 0< x < x0 + y0 = c.

Med denna begränsning kan vi skriva funktionen f(x, y(x)) = 1/c + x(c-x), 0 < x < c. Detta är en parabel med ett maximum då x = c/2. Det finns dock inget minsta värde på parabeln eftersom ändpunkterna inte ingår. Det finns således ett x1 i intervallet (0, c) sådanant att f(x1, y(x1)) < f(x0, y(x0)) = f(x0, y0). QED