flervariabelsanalyS

Jag förstår inte vad din första mening betyder. Vilken area? Vilken kryssprodukt?

Har du ritat en skiss för att förstå vad det handlar om för område? Uttrycket för z antyder att det kan finnas något annat koordinatsystem, i vilket uppgiften är lättare att lösa. Om du skissar upp området D kommer du se att det också passar väl med ett koordinatbyte.

Jag har skissat och kommit fram till att arean är roten ur 2 * pi men jag har inget facit eller lösningsförslag så jag vet inte om det är rätt

Hur kom $\pi$ in?

Du ska beräkna $\int_D\,dS$ där du korrekt kommit fram till att $dS=\sqrt{2}\,dxdy$

Området D ligger i första kvadranten och begränsas av en kurva. Skissa området D och visa.

Jag gör om det till polära koordinater det var då jag fick pi och får:

Men området ges av

Vi kan alltså låta $x$ gå från $0$ till $1$ samtidigt som y går från $0$ till $1-x^2$.

Du har en parametrisering av ytan i $x,y$ enligt

$\mathbf{r}(x,y)=(x,y,\sqrt{x^2+y^2})$

Och du har redan beräknat $dS=\sqrt{2}\,dxdy$ eftersom $|\mathbf{r}^'_x\times \mathbf{r}^'_y|=\sqrt2$

Alltså är integralen du ska beräkna

$\displaystyle \int_{x=0}^1\int_{y=0}^{1-x^2}\,\sqrt{2}\,dxdy$

Jag förstår inte varför du byter till polära koordinater och jag förstår inte hur dina gränser ger området D i bilden ovan.