Flervariabelsanalys, bestämma tangentplan

Jag förstod nog inte riktigt din fråga.

Konstanten hör till ytan, dvs $f(x,y,z)=K$.  (I ditt fall är K=3).

Om $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ är en kurva på nivåytan med $x(t_0)=x_0, y(t_0)=y_0,z(t_0)=z_0$ gäller att (med kedjeregeln)

$\dfrac{d}{dt} (f(x(t),y(t),z(t))=\dfrac{d}{dt} K=0$, dvs gradienten ät vinkelrät mot varje kurva på nivåytan.

Så konstanten tillhör nivåytan -- annars hade vi inte fått skalärprodukten =0 (ortogonalitetsegenskapen).

Och speciellt för $t=t_0$ gäller $\nabla f(\mathbf{x}_0)\bullet (x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))=0$.

Gradienten visar således nivåytans normalriktning.

Jag kanske har blandat ihop vad som menas med f(x,y,z) = 3 och vad som skulle menas med f(x_0^,y₀,z₀) = 3. För om det hade stått f(x₀,y₀,z₀) = 3 hade mitt svar stämt väl?

Så en konstant spelar alltså ingen roll när man ska bestämma ett tangentplan, eller är jag ute och cyklar?

En nivåyta till funktionen $f(x,y,z)$ är alla x,y och z sådana att $f=\mathrm{konstant}$

Om t.ex. $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ så är nivåytan $f=4$ en sfär med radien 2.

Om istället $f=16$ blir nivåytan en sfär med radien 4.

Konstanten väljer alltså ut vilken (av oändligt många) nivåytor vi är intresserade av. Någon annan funktion fyller inte konstanten.

Gradienten $\nabla f$ är riktad i den riktning där f växer snabbast och är vinkelrät mot nivåytan $f=\mathrm{konstant}$ eftersom funktionen inte ändras (är konstant) där.

Vill vi bestämma ett tangentplan till en nivåyta $f=\mathrm{konstant}$ är vi intresserade av just en vektor som är vinkelrät mot nivåytan. Då blir det bekvämt att använda gradienten.

När man bestämmer tangentplanets ekvation kan man utgå från tangeringspunkten $P_0=(x_0,y_0,z_0)$, normalen $\mathbf{n}$ och en lägesvektor $\mathbf{r}=(x,y,z)$.  Då blir tangentplanets ekvation:

$\mathbf{n}\cdot (\mathbf{r}-P_0)=0$

Man ska inte plötsligt lägga till en konstant i den ekvationen.

Däremot måste $f(P_0)=\mathrm{konstant}$ vara uppfyllt, annars skulle inte tangeringspunkten $P_0$ ligga på nivåytan.

okej jag tror jag är med. tack för svar