Flödesintegral

Fältet $\mathbf{F}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}=(x,y,z)$ är givet i uppgiften. Du har redan konstaterat att

 $d\mathbf{S}=dxdy\mathbf{k}=(0,0,1)dxdy$

Vad blir $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$?

D4NIEL skrev:

Fältet $\mathbf{F}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}=(x,y,z)$ är givet i uppgiften. Du har redan konstaterat att

 $d\mathbf{S}=dxdy\mathbf{k}=(0,0,1)dxdy$

Vad blir $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$?

$\mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}=(x,y,z) \cdot (0,0,1)dxdy=zdxdy$

Tack Daniel :)

D4NIEL skrev:

Fältet $\mathbf{F}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}=(x,y,z)$ är givet i uppgiften. Du har redan konstaterat att

 $d\mathbf{S}=dxdy\mathbf{k}=(0,0,1)dxdy$

Vad blir $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$?

På den undre plattan räknar jag ut på samma sätt som för övre men här får jag istället ett negativt svar. $(x,y,z) \cdot (0,0,-1)=-z$ och $z=h$.

Jag försöker hitta normalen på ytan av cylindern. Ytan ges av $x^2+y^2 \leq a^2$. Jag skriver $g(x,y)=x^2+y^2-a^2$ för då vet jag att normalen N ges av $\textbf{N}=\pm \left( g_1, g_2, -1 \right)=\pm \left( 2x,2y,-1 \right)$ detta ser jag direkt inte kan stämma eftersom enligt figuren så måste normalen vara parallell med xy-planet, dvs z värdet måste vara 0. Stämmer det inte då att normalen $\textbf{N}=(2x,2y,0)$?

Nja, den normal jag tror du tänker på används när du parametriserar i xy-planet.

Dvs när du har en yta som ges av $z=f(x,y)$ över xy-planet så ges normalen av

$\mathbf{n}=(-f_x^\prime,-f_y^\prime,1)$

Men i det här fallet är ytan parallell med z-axeln så vi måste hitta normalen på ett annat sätt.

En parameterframställning av mantelytan (med radie $a$) som parametriseras i vinkeln $\theta$ och $z$ ges av

$\mathbf{r}(\theta,z)=(a\cos(\theta), a\sin(\theta),z)$

Normalen till ytan ges då av

$\mathbf{n}=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta }\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z }=a\left(\cos(\theta), \sin(\theta),0\right)=a\hat{\rho}$

Alltså blir $d\mathbf{S}=\hat{\rho} ad\theta dz$

Men egentligen behöver du inte räkna ut den, det räcker med att förstå att den alltid pekar rakt ut från ytan, i radiell led $\hat{\rho}$, vinkelrät mot $\hat{z}$ och är radien $a$ lång.

D4NIEL skrev:

Men egentligen behöver du inte räkna ut den, det räcker med att förstå att den alltid pekar rakt ut från ytan, i radiell led $\hat{\rho}$, vinkelrät mot $\hat{z}$ och är radien $a$ lång.

Jag känner mig tyvärr inte så pass säker så att jag kan skippa den beräkningen.

Vad gäller den undre plattan, är detta rätt tänkt?

$d \mathbf{S}=Ndxdy=-kdxdy$

$\mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}=(x,y,z) \cdot (0,0,-1)=-z=-(-h)=h$

Ja, fast slarva inte med differentialelementen $dx$ och $dy$

$\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=(x,y,z)\underbrace{\cdot (0,0,-1)dxdy}_{d\mathbf{S}}=hdxdy$