Flödesintegral

Det är inte fel att använda flödesintegral, men jag skulle rekommendera divergenssatsen! Det förenklar uträkningarna enormt. För mig tog uträkningarna upp en rad när jag använde den. $\iint_D \vec F\cdot \hat{N}\cdot\vec{dr}=\iiint_K(\text{div} \vec F )dV$ som bekant.

coffeshot skrev:

Det är inte fel att använda flödesintegral, men jag skulle rekommendera divergenssatsen! Det förenklar uträkningarna enormt. För mig tog uträkningarna upp en rad när jag använde den. $\iint_D \vec F\cdot \hat{N}\cdot\vec{dr}=\iiint_K(\text{div} \vec F )dV$ som bekant.

 

Yes okej tack! Men om man ska använda flödesintegral, vad har jag gjort för fel då? 

Tänk efter geometriskt. Det är enkelt att tänka ut ett uttryck för enhetsnormalen.

PATENTERAMERA skrev:

Tänk efter geometriskt. Det är enkelt att tänka ut ett uttryck för enhetsnormalen.

Visa spoiler

$\hat{n}=\frac{\left(x, y, 0\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}·$

hmm okej, men då ska man alltså inte göra r(x,y) och uttrycka normalen därifrån? Förresten så skulle jag nog behöva ha förklarat hur du kom fram till enhetsnormalen sådär. 

:)

Eller, jag tror jag förstår egentligen

PATENTERAMERA skrev:

Tänk efter geometriskt. Det är enkelt att tänka ut ett uttryck för enhetsnormalen.

Visa spoiler

$\hat{n}=\frac{\left(x, y, 0\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}·$

Nu gjorde jag såhär, är det rätt? Kan man byta ut ds mot dydx bara rakt av sådär? (Senare drdt)

plus att z gränserna aldrig togs med? Alltså att 0<z<1

I sista steget har du gjort ett räknefel $\left[\frac{2\pi r^4}{4}\right]_0^2=16\pi$.

Men du har också felaktigt integrerat över radien $r$ och vinkeln $\theta$ i xy-planet. På mantelytan till cylindern är radien konstant $r=2$ och z löper från 0 till 1.

Du ska beräkna ytintegralen över mantelytan och ytelementet blir $r\mathbf{\hat{r}}d\theta dz$.

Försök ställa upp ytintegralen igen och rita gärna en bild på cylindern och markera vilken yta det är du ska integrera över samt åt vilket håll normalen pekar.

Har ni lärt er någon metod för att beräkna normalen till en yta?

D4NIEL skrev:

I sista steget har du gjort ett räknefel $\left[\frac{2\pi r^4}{4}\right]_0^2=16\pi$.

Men du har också felaktigt integrerat över radien $r$ och vinkeln $\theta$ i xy-planet. På mantelytan till cylindern är radien konstant $r=2$ och z löper från 0 till 1.

Du ska beräkna ytintegralen över mantelytan och ytelementet blir $r\mathbf{\hat{n}}d\theta dz$.

Försök ställa upp ytintegralen igen och rita gärna en bild på cylindern och markera vilken yta det är du ska integrera över samt åt vilket håll normalen pekar.

Har ni lärt er någon metod för att beräkna normalen till en yta?

hmm nu förstår jag inte riktigt. Varför ska man räkna en ytintegral när de frågar efter flödet?

Man säger att flödet $\Phi$ av ett vektorfält $\mathbf{F}$ genom en yta $Y$ är nettoflödet i ytnormalens riktning (över hela ytan).

$\displaystyle \Phi=\iint_Y\mathbf{F}\cdot \mathbf{N}\mathrm{d}S$

I uppgiften vill de att du ska samla ihop (integrera) flödet av fältet i normalens riktning över mantelytan till cylindern. Det totala flödet är alltså en ytintegral.

D4NIEL skrev:

Man säger att flödet $\Phi$ av ett vektorfält $\mathbf{F}$ genom en yta $Y$ är nettoflödet i ytnormalens riktning (över hela ytan).

$\displaystyle \Phi=\iint_Y\mathbf{F}\cdot \mathbf{N}\mathrm{d}S$

I uppgiften vill de att du ska samla ihop (integrera) flödet av fältet i normalens riktning över mantelytan till cylindern. Det totala flödet är alltså en ytintegral.

Aha okej. Så jag ska bestämma flödet i normalriktningen och sedan integrera över hela mantelytan? Hur hittar jag normalen? Är den (x,y,0)/sqrt(x^2+y^2)? Eller hur gör man?

Antingen tittar man i formelsamlingen (om man får använda en sådan) eller också får man beräkna normalen på något sätt.

Ett standardsätt att beräkna normalen är att parametrisera ytan i två variabler (till exempel $s,t$) och sedan bilda kryssprodukten

$\displaystyle dS=|\mathbf{r}^\prime_s\times \mathbf{r}^\prime_t|\mathrm{d}s\mathrm{d}t$

I just den här uppgiften blir normalen väldigt enkel som patenteramera visade, men det är bra att känna till varifrån den kommer och hur man beräknar den.

D4NIEL skrev:

Antingen tittar man i formelsamlingen (om man får använda en sådan) eller också får man beräkna normalen på något sätt.

Ett standardsätt att beräkna normalen är att parametrisera ytan i två variabler (till exempel $s,t$) och sedan bilda kryssprodukten

$\displaystyle dS=|\mathbf{r}^\prime_s\times \mathbf{r}^\prime_t|\mathrm{d}s\mathrm{d}t$

I just den här uppgiften blir normalen väldigt enkel som patenteramera visade, men det är bra att känna till varifrån den kommer och hur man beräknar den.

 

yes okej jag ska testa. Dock förstår jag inte varför N = $\frac{(x, y, 0)}{\sqrt{x^2+y^2}}$.

Jag menar, om normalen ska gå ut från z-axeln, så är ju inte z alltid 0? eftersom cylindern har en höjd upp till 1?

Normalen är en vektor och i det här fallet ska den vara parallell med xy-planet och peka bort från z-axeln på alla höjder i z-led.

Om du lägger in en z-komponent i den vektorn pekar den snett uppåt eller nedåt mot xy-planet.

Börja med att rita en bild över cylindern och markera hur du tänker dig att normalen pekar ut från mantelytan. Jag tror det underlättar förståelsen.

D4NIEL skrev:

Normalen är en vektor och i det här fallet ska den vara parallell med xy-planet och peka bort från z-axeln på alla höjder i z-led.

Om du lägger in en z-komponent i den vektorn pekar den snett uppåt eller nedåt mot xy-planet.

Börja med att rita en bild över cylindern och markera hur du tänker dig att normalen pekar ut från mantelytan. Jag tror det underlättar förståelsen.

Alltså, jag tänker mig såhär tex och här är ju z inte 0. Men jag förstår inte riktigt heller vad en normalvektor till en yta är och hur man ska visualisera den?

Tänk på att en vektor bara har en längd och en riktning. Det spelar ingen roll var den börjar eller slutar. Att den är på en höjd i z-led innebär inte att den har en riktning i z-led

Här har jag försökt markera några normalvektorer till ytan. I varje punkt på mantelytan pekar normalen bort från z-axeln och är vinkelrät mot ytan. Den pekar alltså åt olika håll beroende på var på ytan du är, se hur pilarna ligger på olika höjd (men är parallella med xy-planet) och dessutom pekar åt såväl höger som vänster.

Din uppgift är att skapa en vektor som pekar vinkelrätt ut från ytan i varje punkt på ytan. Sedan ska du skalärmultiplicera den vektorn med vektorfältet $\mathbf{F}\cdot \hat{n}dS$

D4NIEL skrev:

Tänk på att en vektor bara har en längd och en riktning. Det spelar ingen roll var den börjar eller slutar. Att den är på en höjd i z-led innebär inte att den har en riktning i z-led

Här har jag försökt markera några normalvektorer till ytan. I varje punkt på mantelytan pekar normalen bort från z-axeln och är vinkelrät mot ytan. Den pekar alltså åt olika håll beroende på var på ytan du är, se hur pilarna ligger på olika höjd (men är parallella med xy-planet) och dessutom pekar åt såväl höger som vänster.

Din uppgift är att skapa en vektor som pekar vinkelrätt ut från ytan i varje punkt på ytan. Sedan ska du skalärmultiplicera den vektorn med vektorfältet $\mathbf{F}\cdot \hat{n}dS$

Tack! Nu förstår jag det där med normalvektorn. Jag löste uppgiften såhär, ser det rätt ut?

Det ser nästan bra ut, men du borde vara lite mer noga med när koordinatbytet från $(x,y,z)$ till $r,\theta, z$ inträffar. Annars ser det ut som att du sätter in jakobianen lite slumpmässigt i integralen (plötsligt dyker det upp en 2:a).

Räkna alltså allt i $(x,y,z)$ tills du byter till $(r,\theta,z)$ och i samband med det måste du multiplicera med J.

D4NIEL skrev:

Det ser nästan bra ut, men du borde vara lite mer noga med när koordinatbytet från $(x,y,z)$ till $r,\theta, z$ inträffar. Annars ser det ut som att du sätter in jakobianen lite slumpmässigt i integralen (plötsligt dyker det upp en 2:a).

Räkna alltså allt i $(x,y,z)$ tills du byter till $(r,\theta,z)$ och i samband med det måste du multiplicera med J.

Japp okej, jag var lite slarvig! Tack för all hjälp!