flödesintegral

Hej itter, jag tror du glömde bifoga frågan.

Men mellan raderna tror jag mig ana att du undrar över hur/när man ska lägga till ett r eller ett r²sin(theta).

Svaret är att du alltid ska använda Jakobianen för parameterframställningen (transformationen), men ibland arbetar man med en känd framställning. T.ex. anses det känt att parameterframställnigen i polära koordinater

$(x,y,z)=\mathbf{r}(r\,\theta)=(r\cos(\theta), r\sin(\theta),0)$

ger Jakobianen $r$. Du kan kontrollera att det faktiskt är samma sak:

$\displaystyle N=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}=r\hat{z}$

$|N|=r$

När du "byter" koordinatsystem ska du alltså multiplicera med Jakobianen, antingen genom att du parametriserar manuellt, eller genom att du använder något du redan kan utantill, t.ex. polära koordinater. Men då du använder en "färdig" parameterframställning (koordinattransformation) får du inte glömma bort att den ändå kommer med en Jakobian, t.e.x $r$ eller $r^2\sin(\theta)$.

Ojsan haha såklart behöver ni frågan!

Din parameterframställning ser bra ut, men sen kanske du har skrivit fel eller gjort något konstigt.

Parameterframställningen $\mathbf{r}(r,\theta)=\left(r\cos(\theta), r\sin(\theta),r\right)$ ger fältet

$\mathbf{F}(r,\theta,r)=(\frac{\cos(\theta)}{r} \frac{\sin(\theta)}{r},r)$

Är du med?

Om du vill kan du redan här byta till cylinderkoordianter, då blir fältet istället

$\mathbf{F}(r,\theta)=r\hat{r}+r\hat{z}$

Och ytelementet blir

$N=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta},\quad d\mathbf{S}=Ndrd\theta$

$d\mathbf{S}=(-\frac{1}{r}\hat{r}+r\hat{z})drd\theta$

Slutligen

$\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=(r^2-1)\,drd\theta$

Eftersom du arbetar med en egen parameterframställning följer Jakobianen (normeringen av normalen) med "automatiskt" när du beräknar normalen.