Flödesintegral

Finns det kanske ett enklare sätt att konstruera integralen?

Gauss sats säger att integralen av divergensen över ett slutet område ska vara lika med det totala flödet ut ur det slutna området.

Du kan sluta området genom att lägga ett "lock" på den "uppochnedvända konen", alltså ett ellipsformat lock vid "höjden" x=5.

Sedan gäller enligt Gauss sats att

$\displaystyle \int_V\left(\nabla\cdot \mathbf{u}\right)\, dV=\iint_{\Sigma} \mathbf{u}\cdot d\mathbf{S} + \iint_{"lock"} \mathbf{u}\cdot \left(1,0,0\right)dydz$

Divergensen av fältet blir $\nabla \cdot \mathbf{u} = 2z$ vilket utgör en ojämn integrand. Av symmetri följer därför trivialt att

 $\displaystyle \int_V\left(\nabla\cdot \mathbf{u}\right)\, dV=0$

Nu kan du relativt enkelt lösa ut och beräkna den sökta integralen över $\Sigma$. Tänk på att arean av en ellips är $A=\pi \cdot a \cdot b$, där $a,b$ är halvaxlarna.

Vad betyder u|N?

Med $<u,N>$ eller $(u|N)$ avses troligen skalärprodukten av fältet $u$ och ytnormalen $N$. 

$(\mathbf{u}|N)\,dS = \mathbf{u}\cdot d\mathbf{S}$ där $\mathbf{\hat{n}}dS=d\mathbf{S}$

D4NIEL skrev:

Gauss sats säger att integralen av divergensen över ett slutet område ska vara lika med det totala flödet ut ur det slutna området.

Du kan sluta området genom att lägga ett "lock" på den "uppochnedvända konen", alltså ett ellipsformat lock vid "höjden" x=5.

Sedan gäller enligt Gauss sats att

$\displaystyle \int_V\left(\nabla\cdot \mathbf{u}\right)\, dV=\iint_{\Sigma} \mathbf{u}\cdot d\mathbf{S} + \iint_{"lock"} \mathbf{u}\cdot \left(1,0,0\right)dydz$

Divergensen av fältet blir $\nabla \cdot \mathbf{u} = 2z$ vilket utgör en ojämn integrand. Av symmetri följer därför trivialt att

 $\displaystyle \int_V\left(\nabla\cdot \mathbf{u}\right)\, dV=0$

Nu kan du relativt enkelt lösa ut och beräkna den sökta integralen över $\Sigma$. Tänk på att arean av en ellips är $A=\pi \cdot a \cdot b$, där $a,b$ är halvaxlarna.

Tack så mycket. Det var ett enklare sätt att beräkna flödet, som jag fick till 200pi.

Ja, $+200\pi$ låter korrekt (flödet blir $x^2A$). Även din ursprungliga integral innehåller ju samma symmetri, så den går att förenkla betydligt. Men jag tror det är tänkt att du ska använda Gauss sats på den här uppgiften.

Den går också att lösa med Stokes sats, vilket jag lämnar som övning :)

Ska kika på det! Tack så mycket!

Och ja, jag tror också det var avsikten med uppgiften. Dock försöker jag först med vanliga randintegraler, men det är inte alltid lämpligt.