Flödesintegral då S är enhetssfären

En sfär är ju en yta, alltså 2D, så du vill ha 2 parametrar, med r, v och z får du 3 st. 

Tänk på att radien på sfären inte varierar, den är alltid 1 på enhetssfären. Däremot om du vill använda z så varierar cirkelns radie beroende på z. Men det är antagligen mycket enklare att använda sfäriska koordinater direkt istället. 

Micimacko skrev:

En sfär är ju en yta, alltså 2D, så du vill ha 2 parametrar, med r, v och z får du 3 st. 

Tänk på att radien på sfären inte varierar, den är alltid 1 på enhetssfären. Däremot om du vill använda z så varierar cirkelns radie beroende på z. Men det är antagligen mycket enklare att använda sfäriska koordinater direkt istället. 

Hm så jag kan ej använda polära koordinater här tex phi(r, v)=(rcosv, rsinv, z) och om jag nu sätter r=1 så får jag bara en parameter som phi beror av dvs phi(v)=(cosv,sinv,z) och om jag nu använder z i parameter för phi så har jag ingen aning hur den varierar. Varför är sfäriska koordinater mycket enklare? Blir det inte bara ännu mer jobbigt ?

Det blir enklare för att de är menade för en sfär. Där kan du bara sätta radien till 1 så är parametriseringen klar. 

Micimacko skrev:

Det blir enklare för att de är menade för en sfär. Där kan du bara sätta radien till 1 så är parametriseringen klar. 

Ok men såhär får jag nu. Jag vet inte hur jag ska förenkla detta mer för att börja integrera map phi och theta.

Jag hittar ingen uppenbar förenkling heller, men det där är väl bara integrera? 

Micimacko skrev:

Jag hittar ingen uppenbar förenkling heller, men det där är väl bara integrera? 

Oj jag vet inte hur man integrerar då alla består av phi och theta. Lätt o blanda ihop

Eftersom $\theta$ går över ett helt varv, så blir

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\cos^3\theta\,d\theta=\int_0^{2\pi}\left(1-\sin^2\theta\right)\cos\theta\,d\theta=[\sin\theta=t,\cos\theta\,d\theta=dt]=\int_0^0\left(1-t^2\right)\,dt=0$

och på liknande sätt

$\displaystyle \int_0^{2\pi} \sin^3 \theta\,d\theta = \cdots = \int_1^1 \left(1-s^2\right)\,ds=0$.

LuMa07 skrev:

Eftersom $\theta$ går över ett helt varv, så blir

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\cos^3\theta\,d\theta=\int_0^{2\pi}\left(1-\sin^2\theta\right)\cos\theta\,d\theta=[\sin\theta=t,\cos\theta\,d\theta=dt]=\int_0^0\left(1-t^2\right)\,dt=0$

och på liknande sätt

$\displaystyle \int_0^{2\pi} \sin^3 \theta\,d\theta = \cdots = \int_1^1 \left(1-s^2\right)\,ds=0$.

Ja jag fick samma svar till slut.