Flödesintegral, parametrisering

Jag ser inget fel, så jag tror att det ska bli så.

Att integrera m.a.p. theta är ganska enkelt faktiskt, så du kan börja med det.

Att integrera m.a.p. fi blir dock lite jobbigare (men inget särskilt farligt).

Jag fick ett svar på a), tack! Men hur gör jag på b)? Jag fattar inte riktigt hur jag ska begränsa ytan så att den blir sluten så jag kan tillämpa divergenssatsen. 

Tänk att du lägger till "botten" av randen till halvklotet till $S$. Notera att det som saknas för att bli hela randen är mängden $(x,y,z)$ som uppfyller $y^2+z^2 \leq 1$ (det lila i min dåliga bild nedan)

(röd är $S$)

Om du slår ihop dessa två mängder så får du randen till halvklotet, vi kallar denna mängd $\partial K$ och då kan du utnyttja divergenssatsen. Sedan måste vi också subtrahera det extra vi lagt till. Vi får alltså att

$\displaystyle \iint_ S \vec F \cdot \vec N \mathrm dS = \iint_{\partial K} \vec F \cdot \vec N \mathrm dS -\iint_{y^2+z^2\leq 1} \vec F \cdot \vec N \mathrm dS$

Som sagt, på den första integralen kan du använda divergenssatsen. På den andra, tänk på hur normalen ser ut för mängden, dess utseende kommer förenkla uträkningarna. Tänk speciellt på att det vi lagt till är en halvcirkel. 

Jag förstår inte riktigt. Om S är en del av randen till klotet x^2+y^2+z^2<=1, så tänker jag att flödesintegralen över S blir flödesintegral av klotet där x>=0 plus av cirkelskivan y^2+z^2<=1. 

Tillägg: 28 maj 2026 18:18

För normalvektorerna behöver väl båda vara riktade utåt? Så för klotet blir det (1,0,0) och för cirkelskivan (-1,0,0).

För att det står i uppgiften att normalvektorn ska ha positiv i komponent, och båda behöver vara utåt eller innåt så om klotet får en normalvektor utåt så behöver cirkelskivan också ha det. Eller har jag fel?

Divergenssatsen handlar ju specifikt om hur man kan göra när man har en integral över randen till ett område. $S$ är nästan randen till halvklotet $x^2+y^2+z^2 \leq 1, x\geq 0$. Det som saknas är cirkelskivan $y^2+z^2 \leq 1$. När vi lagt till den till $S$, vilket blir en ny mängd som jag kallar $\partial K$ ovan. På denna kan vi använda divergenssatsen. Låter detta rimligt?

Jaaa, nu blev det klart. Men stämmer min tanke om normalvektorerna då, att båda behöver peka utåt?

På själva halvsfären, $S$, måste ju normalen vara vinkelrät till klotet och därmed vara i riktningen $(x,y,z)$. Att normalen har positiv $\vec i$ komponent innebär ju att normalen kommer peka ut ur klotet, istället för inåt. Denna orientering, utåt vs inåt, är det som ska bevaras på den nya sidan vi lagt till. Så ja, normalen pekar utåt på cirkelskivan.