Flödet till en kon med Gauss

Gauss sats gäller bara för en sluten yta. Botten B tillsammans med konytan S bildar en sluten yta på vilken du kan använda Gauss sats. Du kan inte använda Gauss på endast ytan S.

Det står i texten vad de menar med $\underset{S}{\iint }$, dvs flödet av F upp genom ytan S. Dvs detta är en förkortning för $\underset{S}{\iint }\overrightarrow{F}\bullet \hat{N}dS$.

PATENTERAMERA skrev:

Gauss sats gäller bara för en sluten yta. Botten B tillsammans med konytan S bildar en sluten yta på vilken du kan använda Gauss sats. Du kan inte använda Gauss på endast ytan S.

Men varför räcker det då inte med trippelintegralen som omfattar just denna slutna yta. Varför måste vi även ta med $\iint_{B}\mathbf{F} \bullet \hat{N} dS$? 

Vi har $0 \leq r \leq a$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$ och $0 \leq z \leq b\left( 1 - \dfrac{r}{a} \right)$ som helt och hållet beskriver ytan i fråga?

Trippelintegralen är en volymsintegral. Du integrerar över den volym D som innesluts av den slutna ytan som består av ytorna S och B. Gauss sats ger ett samband mellan en ytintegral som beskriver flödet av ett vektorfält ut ur en sluten yta och en volymsintegral över den volym som innesluts av den slutna ytan.

I vårt fall så är den slutna ytan S$\cup$B. Så Gauss säger att

$\underset{S\cup B}{\iint }\overrightarrow{F}\bullet \hat{N}dS=\underset{D}{\iiint }div\overrightarrow{F}dV$.

Vi kan dela upp ytintegralen i två delar.

$\underset{S\cup B}{\iint }\overrightarrow{F}\bullet \hat{N}dS=\underset{S}{\iint }\overrightarrow{F}\bullet \hat{N}dS+\underset{B}{\iint }\overrightarrow{F}\bullet \hat{N}dS$.

Det som efterfrågas är $\underset{S}{\iint }\overrightarrow{F}\bullet \hat{N}dS$, och med hjälp av ovan så får vi

$\underset{S}{\iint }\overrightarrow{F}\bullet \hat{N}dS=\underset{D}{\iiint }div\overrightarrow{F}dV-\underset{B}{\iint }\overrightarrow{F}\bullet \hat{N}dS$.

Frågor på det?

PATENTERAMERA skrev:

Trippelintegralen är en volymsintegral. Du integrerar över den volym D som innesluts av den slutna ytan som består av ytorna S och B. Gauss sats ger ett samband mellan en ytintegral som beskriver flödet av ett vektorfält ut ur en sluten yta och en volymsintegral över den volym som innesluts av den slutna ytan.

I vårt fall så är den slutna ytan S$\cup$B. Så Gauss säger att

$\underset{S\cup B}{\iint }\overrightarrow{F}\bullet \hat{N}dS=\underset{D}{\iiint }div\overrightarrow{F}dV$.

Vi kan dela upp ytintegralen i två delar.

$\underset{S\cup B}{\iint }\overrightarrow{F}\bullet \hat{N}dS=\underset{S}{\iint }\overrightarrow{F}\bullet \hat{N}dS+\underset{B}{\iint }\overrightarrow{F}\bullet \hat{N}dS$.

Det som efterfrågas är $\underset{S}{\iint }\overrightarrow{F}\bullet \hat{N}dS$, och med hjälp av ovan så får vi

$\underset{S}{\iint }\overrightarrow{F}\bullet \hat{N}dS=\underset{D}{\iiint }div\overrightarrow{F}dV-\underset{B}{\iint }\overrightarrow{F}\bullet \hat{N}dS$.

Frågor på det?

Tack för ett mycket utförligt svar! uppskattas jättemycket! 

Så det går lika bra att skriva $\iint_{S} \mathbf{F} \bullet \hat{N}dS$ som $\iint_{S}dS$?

Edit: En till fråga, bara för att konstatera, är det så att normalen till B pekar neråt följer av Gauss sats?

Nej, den första beräknar flödet av vektorfältet F genom ytan S. Den andra är en integral som beräknar arean av ytan S.

Ja, att normalen är neråt beror på förutsättningarna för Gauss sats.

PATENTERAMERA skrev:

Den andra är en integral som beräknar arean av ytan S.

Nu blir jag lite fundersam här. Detta står längst ner i bild 

edit: råkar det bara vara så att flödet är lika med arean av bascirkeln? Konstigt att välja den notationen

edit2: saknas inte ett ”dA” för att det ska vara arean av S

Jag tror jag svarade på det i #2. Dvs man är lite bekväm och skriver inte ut allt och tänker att det borde vara klart eftersom man förklarar utförligt vad man menar på raden ovanför.

dS är ett infinitesimalt areaelement, man skulle kunna kalla det dA också om man vill. Här verkar man använda dS som beteckning så varför inte hålla sig till det.

PATENTERAMERA skrev:

Jag tror jag svarade på det i #2. Dvs man är lite bekväm och skriver inte ut allt och tänker att det borde vara klart eftersom man förklarar utförligt vad man menar på raden ovanför.

dS är ett infinitesimalt areaelement, man skulle kunna kalla det dA också om man vill. Här verkar man använda dS som beteckning så varför inte hålla sig till det.

Jag ber så hemskt mycket om ursäkt för post #5 det blev ett skrivfel där.  Det skulle stå $\iint_S$ och inte $\iint_{S} dS$.
Jag förstår nu som du förklara i #2 att de använder $\iint_S$ synonymt med $\iint_S F \bullet \hat{N} dS$. Sorry igen för tidigare skrivfel som skapade förvirring.

OK, fattar. Jag har aldrig sett den förkortningen som de använder tidigare, så man bör nog skriva ut hela uttrycket för att slippa missförstånd.