floor och ceil funktion

Avrundningsfunktionerna omvandar kontinuerliga funktioner till diskreta funktioner och integraler blir effektivt summor.

Man tar sin funktion och delar upp integrationsintervallet i delområden där funktionen är konstant på varje delintervall. Därefter man kan skriva integralen som en summa av integralerna över delområdena men då kar man bara fallet

$\int_{a}^b k dx = k(b - a)$

---

Om vi exempelvis har $f(x) = x$ så och tar $\lfloor x  \rfloor$ (floor) så är det en funktion som är

0 på intervallet [0,1), 1 på intervalet [1,2], 2 på [2,1), 3 på intervallet [3,4)

1 på intervallet

$\int_0^4  \lfloor x \rfloor dx = 0(1 - 0) + 1(2 - 1) + 2(3 - 2) + 3(4 - 3) = 1 + 2 + 3 = 6$

---

Tar vi $\sqrt{x}$ och integrerar from 0 till 16 blir det lite krångligare men samma idé

$\lfloor \sqrt{x} \rfloor$ är

0 på intervallet [0,1), är 1 på intervallet [1,4], 2 på intervallet [4,9), och 3 på intervallet [9, 16).

(tänk att tal mellan två heltalskvadrater ex 3^2 och 4^2 har kvadratrötter som avrundas till 3)

$\int_0^{16}\lfloor \sqrt{x} \rfloor dx = 0(1 - 0) + 1(4 - 1) + 2(9 - 4) + 3(16 - 9) = 34$

---

Att skissa en bild kan hjälpa en att visualisera. (Reserverar mig för räknefel i beräkningarna då de bara var spontana exempel)

Med diskreta funktioner får man dock göra en hel del manuellt och kan inte bara använda tabeller och vara klar likt man kan med kontinuerliga integraler.

Om man bara vill approximera integraler kan man ibland bara ta bort floor/ceilfunktionerna.

Tar man exemplet utan floorfunktion så får man

$\int_0^{16} \sqrt{x}dx = 43$

vilket är storleksmässigt samma som den exakta integralen och tar man större integrationsintervall så går det procentuella felet mot 0 även om det absoluta felet fortsätter växa.