Fn-measurable, på vilket sätt känner vi till Y givet X0,...,Xn?

Den som ska svara på denna fråga som den står behöver säkert ha följt just denna aktuella kursen. Allmän matematisk bildning räcker föga, om du inte förklarar dina matematiska objekt. T ex:

Är X₀ ...X_n  några slags koordinatrum och hur är Y kopplad till dessa? (Någon sådan koppling måste finnas annars är påståendet att vi "känner Y givet..."  meningslöst. Att Y är mätbar i någon mening (här "Fn-measurable") kan dels betyda en egenskap hos en funktion Y  eller dels en egenskap hos en mängd Y(t ex en händelse varvid måttet är sannolikheten för den händelsen). Vidare behöver f och g presenteras.

Sorry, jag slarvade lite när jag skrev frågan.

X0,...,Xn är slumpvariabler och vi har följande koppling mellan dessa och Y (missade att få med y i integralen tidigare såg jag nu):

$E\left[Y\right|X_0=x_0,...,X_n=x_n]\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{\int }_{-\infty }^{\infty }y\frac{f_{Y,X_0,...,X_n}(y,x_0,...,x_n)}{f_{X_0,...,X_n}(x_0,...,x_n)}dy\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}g(x_0,...,x_n)$

g är alltså funktionen som kommer från integralen ovan. Som  jag förstår det är funktionen f den betingade täthetsfunktionen $f_{Y|X_0=x_0,...,X_n=x_n}\left(y\right|x_0,...,x_n)$vilken kan skrivas om till:

$f_{Y|X_0=x_0,...,X_n=x_n}\left(y\right|x_0,...,x_n)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{f_{Y,X_0,...,X_n}(y,x_0,...,x_n)}{f_{X_0,...,X_n}(x_0,...,x_n)}$

Man kan alltså skriva det betingade förväntade värdet som en funktion av utfallet x0,...,xn från slumpvariablerna X0,...,Xn.

Med den här informationen, går det att besvara min fråga då?

Tillägg:

Detta är alltså andra kursen vi går i matematisk statistik, vi har bara gått igenom basic probability tidigare. Vi fick även till oss att:

"In advanced probability: E[Y|X0,...,Xn] = g(X0,...,Xn) is a random variable with $g:{\mathrm{ℝ}}^{n+1}->\mathrm{ℝ}$and we use Fn to denote the information X0,...,Xn which is also denoted $\sigma (X_0,...,X_n)=F_n$. So, we have:

$E\left[Y\right|X_0,...,X_n]\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}E[Y\left|F_n\right]\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}E\left[Y\right|\sigma (X_0,...,X_n)]\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}g(X_0,...,X_n)$ where $g(x_0,...,x_n)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}E\left[Y\right|X_0=x_0,...,X_n=x_n]$"

Från detta kommer följande definition:

"Def: A random variable Y is called Fn-measurable if Y is a function of X0,...,Xn"

Var på han lägger till att:

"This means that Y is sort of explained by X0,...,Xn so you know what Y is when you know what X0,...,Xn is"

Så det är detta jag inte helt förstår. Jag förstår att E[Y|X0,...Xn] = g(X0,...,Xn) är en slumpvariabel som beror på X0,...,Xn, så rimligtvis får vi ut en konstant givet ett utfall X0=x0, ..., Xn=xn (att vi får ett utfall X0=x0, ..., Xn=xn är vad jag tror han menar med att "when you know what X0,...,Xn is").

Men när han säger att "you know what Y is when you know what X0,...,Xn is" så pratar han ju om Y rent generellt och inte det betingade förväntade värdet, så det är här jag inte förstå vad han menar med att vi känner till Y.

 

 

Med ovanst. redogörelse vet jag att jag inte är den rätte att besvara din fråga. Denna saiten har säkert deltagare som är mer bevandrade i mat stat än jag.

Ygolopot skrev:

Hej! Vår lärare säger att Y är Fn-measurable om Y är explained av X0,...,Xn vilket ska innebära att vi vet vad Y är givet att vi vet vad X0,...,Xn är.

Vad menas med att "vi vet vad Y är"?

Menar han att vi känner till täthetsfunktionen för Y eller menar han att vi känner till vilket det betingade förväntade värdet för Y är?

Det jag känner till är att: E[Y|X0,...,X0] = g(X0,...,X0) och jag förstår att funktionen g kommer från:

${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{f_{Y,X_0,...,X_n}(y,x_0, ..., x_n)}{f_{X_0,...,X_n}(x_0, ..., x_n}dy =\hspace{0.17em}g(x_0, ..., x_n)$

Så att vi vet vad det betingade förväntade värdet för Y är givet x0, ..., xn makes sense för mig men blev osäker eftersom han inte specifikt sa att det är det förväntade värdet vi vet givet utan han säger bara att vi vet vad Y är.

Tack på förhand!

Det betyder inget av ovanstående. 

Det betyder att om för en given realisation av x_0,x_1,...,x_n så är Y en konstant.

Exempel: om X och Y är slumpvariabler och Z=X+Y. Då är Z också en slumpvariabel men bestämd av X och Y. Så för en given realisation av (X,Y) säg (2,3) så är Z en konstant (5 i det här fallet). Z är en (X,Y)-bestämd slumpvariabel.