6 svar
270 visningar
ogrelito är nöjd med hjälpen
ogrelito 198
Postad: 15 feb 2020 17:06 Redigerad: 15 feb 2020 17:12

För vilka k är G konservativ.

Hej jag löst en uppgift utan facit eller lösning. Jag vet inte om jag har gjort rätt.

Frågan lyder:

Såhär gjorde jag:

a)  G(x, y, z)=(x, y, z)=(F1, F2, F3)x=F1=yz ,   y=F2=xz ,  z=F3 =xy+k(y)G är konservativ om F1y= F2x,   F1z= F3x,   F2z= F3y F1y= F2x=z ,   F1z= F3x=x ,   F2z= F3y=x+ky(y)om k(y) är en konstant, kommer derivatan av k(y)=0 alltså kommer likheten att stämma.Alltså kan k(y) vara alla reella tal.

 

b) G(x , y , x)=(x , y , x)=(x, y , z)x=yz , y=xz , z=xy+k(y)(x , y , x)=yzdx=yzx+g(y,z)   (x , y , x)=yzx+g(y,z)y=xz=zx+gy(y,z) gy(y,z) =0g(y,z)=0dy=h(z)    g(y,z)=h(z)z=xy+k(y)=hz(z)h(z)=xy+k(y)dz= xyz+k(y)z(x , y , x)=yzx+g(y,z)=yzx+xyz+k(y)z=2xyz+k(y)zFör att derivatan av  med avseende på x, y .z ska bli samma sak som måste k(y)=-xy

 

c)Vi vill beräkna kurvintegralen.  Vi börjar med att kolla om integralen är "oberoende av vägen".Den är oberoende om integralen är konservativ.F(x,y)=(x,y)=(x, y)=(F1, F2)F1=x=2x ,   F2=y=2yOm likheten gäller så är den konservativ: F1y=F2xF1y=F2x=0 vilket stämmer.(x,y)=2xdx=x2+g(y)y=2y=gy(y)g(y)=2ydy=y2+C(x,y)=x2+y2+C(-1,1)-(0,0)=2

Jag är inte riktigt säker på om jag har gjort rätt.

Så jag skulle verkligen uppskatta det ifall någon skulle kunna rätta mig om något är fel.

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 15 feb 2020 20:45

Jag hänger inte riktigt med i ditt resonemang i (b)-uppgiften:

Enl. förutsättningarna:

k är en en-variabelfunktion av y, k(y)k(y).

ogrelito 198
Postad: 15 feb 2020 23:38

på b) tänkte jag att:

G(x , y , z)=(x, y, z)så om (x, y, z)=2xyz+k(y)zså måste x, y, z=(x, y, z)därför deriverar vi 2xyz+k(y)z med avseende på x, y och z.ddx(2xyz+k(y)z)=2yz, detta måste bli lika med G(x , y , z)=(yz, xz , xy+k(y)). Alltså måste 1 yz bort.Så om k(y)=-xy får vi att ddx(2xyz-xyz)=yz     osv.

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 16 feb 2020 10:08 Redigerad: 16 feb 2020 10:15

Jag instämmer i dina kalkyler från (a)-uppgiften att k(y)=Kk(y)=K, K är en reell konstant.

Med andra ord uppfyller Φ\Phi:

Det innebär, att

Med successiv integrering och matchning med ovanst. ekvationssystem, landar jag i att

ogrelito 198
Postad: 16 feb 2020 14:02

Ok så då är a) rätt, men är c) rätt  eller fel?

dr_lund 1177 – Fd. Medlem
Postad: 16 feb 2020 14:18

Uppgift (c): Korrekt!

ogrelito 198
Postad: 16 feb 2020 14:58
dr_lund skrev:

Uppgift (c): Korrekt!

Ok.

Tack så mycket för hjälpen!

Jag kom på hur jag skulle lösa ut b)!

Svara Avbryt
Close